Automorfismi

Automorfismi on isomorfismi matemaattisen kohteen ja itsensä välillä ; kartoitus, joka muuttaa objektia säilyttäen samalla kaikki sen alkuperäiset ominaisuudet. Kaikkien objektin automorfismien joukko muodostaa automorfismiryhmän , jota voidaan pitää kohteen symmetriaryhmän yleistyksenä.

Automorfismin tarkka määritelmä riippuu matemaattisen objektin tyypistä ja kontekstista. Universaalisessa algebrassa automorfismi määritellään algebrallisen järjestelmän bijektiiviseksi homomorfismiksi itseensä. Identiteettikartoitusta kutsutaan joskus triviaaliksi automorfismiksi ; vastaavasti ei-identtisten automorfismien sanotaan olevan ei-triviaaleja .

Kategoriateorian automorfismi määritellään endomorfismiksi , joka on myös isomorfismi .

Jos objektin automorfismit kategoriassa muodostavat joukon , muodostavat ne morfismien koostumuksen toiminnan kannalta ryhmän - automorfismiryhmän (tai yksinkertaisesti , jos luokka on kontekstista selvä). $X$ $C$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Aut} _{C}(X)}$ $\operaattorin nimi {Aut}(X)$

Ensimmäinen hyvin tunnettu kuvattu ryhmäautomorfismi on Hamiltonin vuonna 1856 löytämä toisen asteen automorfismi ikosiaanissa [1] .

Esimerkkejä

Joukkoteoriassa joukon alkioiden mielivaltainen permutaatio on automorfismi. Automorfismiryhmää kutsutaan myös symmetriseksi ryhmäksi . $X$ $X$ $X$

Kokonaislukujen joukolla , jota pidetään yhteenlaskemalla ryhmänä, on yksi ei-triviaali automorfismi: vastakkaisen merkin ottaminen. Kuitenkin, kun sitä pidetään renkaana , sillä on vain triviaali automorfismi. Yleisesti ottaen vastakohta on automorfismi mille tahansa Abelin ryhmälle , mutta ei renkaalle tai kentälle. $\mathbb {Z}$

Ryhmäautomorfismi on ryhmän ryhmäisomorfismi itseensä; ryhmän elementtien "permutaatio", jossa rakenne pysyy muuttumattomana. Jokaiselle ryhmälle on olemassa luonnollinen ryhmähomomorfismi, jonka kuva on sisäisten automorfismien ryhmä ja jonka ydin on ryhmän keskus . Siten, jos ryhmällä a on triviaalikeskus , se voidaan upottaa oikeaan automorfismiryhmään [2] . $G$ $G\to \operaattorin nimi {Aut} (G)$ $\operaattorinnimi{Inn}(G)$ $G$ $G$

Lineaarisessa algebrassa vektoriavaruuden endomorfismi on lineaarinen operaattori . Tässä yhteydessä automorfismi on käännettävä lineaarinen operaattori . Kun vektoriavaruus on äärellisulotteinen, automorfismiryhmä on sama kuin yleinen lineaarinen ryhmä . (Algebrallinen rakenne, joka koostuu :n kaikista endomorfismista , on itse algebra saman kentän päällä kuin , jonka käännettävät elementit koostuvat täsmälleen : sta .) $V$ $V\to V$ $V$ $V$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {GL} (V)}$ $V$ $V$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {GL} (V)}$

Kenttäautomorfismi on kentän bijektiivinen rengashomomorfismi itsessään . Rationaalilukujen ja reaalilukujen tapauksessa näillä kentillä ei ole ei-triviaalia automorfismia. Joillakin osakentillä on ei-triviaaleja automorfismeja, jotka eivät kuitenkaan ulotu kaikkeen (esimerkiksi koska nämä automorfismit eivät säilytä luvun ominaisuutta olla neliöjuuri kohdassa ). Kompleksilukujen tapauksessa on olemassa yksi ei-triviaali automorfismi, joka kääntyy : kompleksikonjugaatio , mutta on olemassa ääretön ( lukematon ) joukko "villiä" automorfismeja (olettaen valinnan aksiooman ) [3] [4] . Kentän automorfismit ovat tärkeitä kenttälaajennusten teorialle , erityisesti Galois'n laajennuksille . Galois-laajennuksen tapauksessa kaikkien pisteittäin kiinnittyvien automorfismien alaryhmää kutsutaan laajennuksen Galois-ryhmäksi . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $L/K$ $L$ $K$

Kvaternionien ( ) automorfismiryhmä renkaina ovat Skolem-Noether -lauseen sisäisiä automorfismeja : muodon [5] kartoituksia . Tämä ryhmä on isomorfinen kolmiulotteisessa avaruudessa pyörivien ryhmien kanssa . $H$ $a\to bab^{-1}$ $\operaattorin nimi {SO} (3)$

Oktonion automorfismiryhmä ( ) on poikkeuksellinen Lie - ryhmä G2 . $O$

Järjestysteoriassa tärkeä rooli on järjestysautomorfismilla , osittain järjestetyn joukkojen automorfismilla , joka säilyttää järjestyssuhteen.

Graafiteoriassa graafin automorfismi on solmujen permutaatio, joka säilyttää reunat ja ei-reunat. Erityisesti jos kaksi solmua on yhdistetty reunalla, niin myös niiden kuvaukset automorfismin soveltamisen jälkeen yhdistetään reunalla. Tässä tapauksessa automorfismi toimii kuten graafin kärkien uudelleennumerointi tai permutaatio.

Geometriassa automorfismia kutsutaan avaruuden liikkeeksi . Myös erikoisterminologiaa käytetään: Riemannin pintojen luokassa automorfismi on biholomorfinen kartoitus (kutsutaan myös konformiseksi mappaukseksi ) pinnasta itseensä. Esimerkiksi Riemannin sfäärin automorfismit ovat Möbius-muunnoksia . Differentioituvan moniston automorfismi on diffeomorfismi itsestään . Automorfismiryhmää merkitään joskus . $M$ $M$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Diff} (M)}$

Topologiassa topologisten avaruuksien välisiä morfismeja kutsutaan jatkuviksi mappauksiksi , ja topologisen avaruuden automorfismi on avaruuden homeomorfismi itseensä. Tämä on esimerkki siitä, että aina ei riitä, että morfismi on bijektiivinen, jotta se olisi isomorfismi.

Sisäiset ja ulkoiset automorfismit

Joissakin algebrallisissa järjestelmissä, mukaan lukien ryhmät , renkaat ja Lie-algebrat , automorfismit voidaan jakaa kahteen tyyppiin - sisäiseen ja ulkoiseen.

Ryhmien tapauksessa sisäiset automorfismit ovat konjugaatioita itse ryhmän elementtien avulla. Ryhmän kullekin elementille konjugaatio kanssa on operaatio , joka on määritelty muodossa (tai ; riippuu lähteestä). On helppo tarkistaa, että konjugaatio kanssa on ryhmäautomorfismi. Sisäiset automorfismit muodostavat ryhmän normaalin alaryhmän , jota merkitään ; tätä kuvaa Goursatin lemma . $a$ $G$ $a$ $\phi _{a}:G\to G$ ${\displaystyle \phi _{a}(g)=aga^{-1))$ $a^{-1}ga$ $a$ $\operaattorin nimi {Aut} (G)$ $\operaattorinnimi{Inn}(G)$

Jäljellä olevia automorfismeja kutsutaan ulkoisiksi automorfismeiksi. Tekijäryhmää merkitään yleensä ; ei-triviaalit elementit ovat ulkoisia automorfismeja sisältäviä kosetteja . $\operaattorin nimi {Aut} (G)/\operaattorin nimi {Inn} (G)$ $\operaattorinimi{Out}(G)$

Sama määritelmä on järkevä missä tahansa renkaassa , jossa on yksikkö tai kentässä, jossa mikä tahansa elementti on käännettävä . Lie - algebroilla määritelmä on hieman erilainen.

Kirjallisuus

↑ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandumi uudesta yhtenäisyyden juurijärjestelmästä" (PDF) . Filosofinen aikakauslehti . 12 :446.
…siis se on ykseyden uusi viides juuri, joka liittyy entiseen viidenteen juuriin täydellisen vastavuoroisuuden suhteilla. $\mu$ $\lambda$
↑ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorfismit // Laskennallisen tekniikan matemaattiset perusteet . - Felix Pahl käännös. - Springer, 2001. - s . 376 . — ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Yale, Paul B. (toukokuu 1966). "Kompleksilukujen automorfismit" (PDF) . Matematiikan aikakauslehti . 39 (3): 135-141. DOI : 10.2307/2689301 . JSTOR 2689301 .
↑ Lounesto, Pertti. Clifford Algebrat ja Spinors . – 2. - Cambridge University Press, 2001. - S. 22-23 . - ISBN 0-521-00551-5 .
↑ Algebran käsikirja , vol. 3, Elsevier , 2003, s. 453

Linkit

Artamonov V. A. . Luku VI. Yleisalgebrat // Yleisalgebra / Toim. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Algebrallinen automorfismijärjestelmä on artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . D. M. Smirnov
Plotkin BI Algebrallisten järjestelmien automorfismiryhmät. — M .: Nauka , 1966. — 603 s. - 6000 kappaletta.