Sisäinen automorfismi on eräänlainen ryhmäautomorfismi, joka määritellään ryhmän kiinteänä elementtinä, jota kutsutaan konjugaattielementiksi . Muodollisesti, jos G on ryhmä ja a on ryhmän G elementti, niin elementin a määrittelemä sisäinen automorfismi on kuvaaminen f G : stä itseensä, joka määritellään kaikille x : lle G :stä kaavalla
f ( x ) = a −1 xa .Tässä käytetään käytäntöä, että ryhmäelementit toimivat oikealla.
Operaatiota x ↦ a −1 xa kutsutaan konjugaatioksi (katso myös " Konjugaatioluokka ") ja on usein mielenkiintoista erottaa tapaukset, joissa konjugaatio yhden elementin avulla jättää toisen elementin ennalleen tapauksesta, jossa konjugaatio muuttaa elementin toiseksi elementti.
Itse asiassa sanominen, että x:n konjugointi jättää x : n muuttumattomaksi , vastaa sanomista, että a ja x liikkuvat:
a −1 xa = x ⇔ ax = xa .Siten sellaisten sisäisten automorfismien olemassaolo ja lukumäärä, jotka eivät ole identtisiä , toimii ryhmän kommutatiivisuuden mittana .
Ryhmän G automorfismi on sisäinen silloin ja vain, jos se on laajennettu missä tahansa ryhmässä, joka sisältää G [1] .
Lauseke a −1 xa kirjoitetaan usein x a :n potenssina . Tätä merkintää käytetään, koska sääntö ( x a ) b = x ab täyttyy .
Mikä tahansa sisäinen automorfismi on tietysti ryhmän G automorfismi , eli bijektiivinen kartoitus G : stä G :hen . Se on myös homomorfismi , joka tarkoittaa ( xy ) a = x a y a .
Kahden sisäisen automorfismin koostumus on jälleen sisäinen automorfismi (kuten edellä mainittiin - ( x a ) b = x ab ) ja ryhmän G kaikkien sisäisten automorfismien joukko on itse ryhmä (ryhmän G sisäisten automorfismien ryhmä ) ja sitä merkitään Inn( G ) .
Inn( G ) on G :n täyden automorfismiryhmän Aut( G ) normaali aliryhmä . Ulompi automorfismiryhmä Out( G ) on tekijäryhmä
Out( G ) ≡ Aut( G )/Inn( G )Ulkoisten automorfismien ryhmä heijastaa tietyssä mielessä, kuinka monta G :n automorfismia on sisäinen. Mikä tahansa ei-sisäinen automorfismi antaa ei-triviaalin elementin ryhmästä Out( G ) , mutta erilaiset ei-sisäiset automorfismit voivat antaa samat elementit ryhmästä Out( G ) .
Yhdistämällä elementin a ∈ G sisäiseen automorfismiin f ( x ) = x a ryhmässä Inn( G ) , kuten edellä, saadaan isomorfismi tekijäryhmien G /Z( G ) välillä (jossa Z( G ) on keskus G ) ja sisäisten automorfismien ryhmä:
G /Z( G ) = Inn( G ) .Tämä on seurausta ensimmäisestä isomorfismilauseesta , koska Z( G ) on täsmälleen joukko G :n elementtejä, jotka antavat identiteettikartan, kun niitä käytetään luomaan sisäinen automorfismi (konjugaatio ei muuta mitään).
Wolfgang Gaschützin tulos sanoo, että jos ryhmä G on äärellinen ja ei-Abelin p -ryhmä , niin G :llä on jossain määrin automorfismi kertaluokkaa p , joka ei ole sisäinen.
Avoin ongelma on, onko jollain ei-Abelin p - ryhmällä G automorfismi kertaluvun p . Kysymykseen on myönteinen vastaus, jos G täyttää yhden seuraavista ehdoista:
Sisäisten automorfismien ryhmä Inn( G ) on triviaali (eli se koostuu vain neutraalista elementistä ) jos ja vain jos ryhmä G on Abelin .
On helppo osoittaa, että Inn( G ) voi olla syklinen ryhmä vain, kun se on triviaali.
Sisäiset automorfismit voivat muodostaa koko automorfismiryhmän. Ryhmää, jonka kaikki automorfismit ovat sisäisiä ja jonka keskus on triviaali, kutsutaan täydelliseksi . Tämä pätee kaikkiin symmetrisiin ryhmiin , joissa on n elementtiä, kun n ei ole yhtä suuri kuin 2 tai 6. Jos n = 6 , symmetrisellä ryhmällä on ainutlaatuinen ei-triviaali ulompi automorfismiluokka, ja n = 2 :lle symmetrinen ryhmä, vaikka sillä ei ole ulkoiset automorfismit, on Abelin, joka antaa ei-triviaalikeskuksen, ja siksi ryhmä ei voi olla täydellinen.
Olkoon ryhmä G yhteneväinen sen johdetun alaryhmän kanssa (englanninkielisessä terminologiassa täydellinen ryhmä ). Jos sen sisäisten automorfismien ryhmä Inn( G ) on yksinkertainen , niin tällaista ryhmää G kutsutaan kvasiyksinkertaiseksi .
Kun annetaan rengas R ja R : stä yksikkö u , kuvaus f ( x ) = u −1 xu on renkaan R automorfismi . Tällaisia renkaan automorfismeja kutsutaan renkaan R sisäisiksi automorfismeiksi . Nämä automorfismit muodostavat normaalin alaryhmän renkaan R automorfismiryhmästä.
Lie-algebran automorfismia 𝔊 kutsutaan sisäiseksi automorfismiksi, jos se on muotoa Ad g , jossa Ad on konjugaattikartta ja g on Lie-ryhmän elementti, jonka algebra on yhtä suuri kuin 𝔊 . Lie-algebroiden sisäisen automorfismin merkintä on yhteensopiva ryhmien merkinnän kanssa siinä mielessä, että Lie-ryhmän sisäinen automorfismi synnyttää vastaavan Lie-algebran ainutlaatuisen sisäisen automorfismin.