Isomorfismin lauseet

Algebran isomorfismilauseet ovat sarja lauseita , jotka liittyvät tekijän , homomorfismin ja sisäkkäisen objektin käsitteisiin . Lauseen lause on isomorfismi jostain ryhmäparista , renkaista , moduuleista , lineaariavaruuksista , Lie - algebroista tai muista algebrallisista rakenteista (sovelluksesta riippuen). Isomorfismilauseita on yleensä kolme, joita kutsutaan ensimmäiseksi (myös perushomomorfismilauseeksi ) , toiseksi ja kolmanneksi. Vaikka tällaiset lauseet seuraavat melko helposti tekijän määritelmästä, eikä kenenkään erityisen ansiota niiden löydöstä, uskotaan, että Emmy Noether antoi yleisimmät sanamuodot .

Ryhmät

Ensimmäinen lause

Olkoon sitten ryhmähomomorfismi :

  1. Ydin φ on G  : n normaali aliryhmä ;
  2. Kuva φ on  H :n alaryhmä ;
  3. Kuva φ on isomorfinen tekijäryhmän G  / ker φ kanssa.

Erityisesti, jos homomorfismi φ on surjektiivinen (eli on epimorfismi ), ryhmä H on isomorfinen tekijäryhmälle G  /ker φ.

Toinen lause

Olkoon G ryhmä, S G : n aliryhmä  , N G : n normaali aliryhmä  , niin:

  1. Tuote on  G :n alaryhmä ;
  2. Leikkaus on  S :n normaali alaryhmä ;
  3. Tekijäryhmät ja ovat isomorfisia.

Kolmas lause

Olkoon G ryhmä, N ja K normaaleja  G :n aliryhmiä siten, että K  ⊆  N , niin:

  1. N  /  K on  G  /  K :n normaali alaryhmä ;
  2. Osamääräryhmien ( G  /  K )/( N  /  K ) osamääräryhmä on isomorfinen osamääräryhmän G  /  N kanssa .

Sormukset

Tällä alueella normaalin alaryhmän käsite korvataan käsitteellä renkaan ihanne .

Ensimmäinen lause

Olkoon sitten rengashomomorfismi :

  1. Ydin φ on  R :n ideaali ;
  2. Kuva φ on  S :n osajoukko ;
  3. Kuva φ on isomorfinen tekijärenkaan R  / ker φ kanssa.

Erityisesti, jos homomorfismi φ on surjektiivinen (eli se on epimorfismi), niin rengas S on isomorfinen tekijärenkaan R  / ker φ kanssa.

Toinen lause

Olkoon R rengas, S alirengas  R :ssä , I ideaali  R :ssä , niin:

  1. Summa S  +  I on  R :n osaluku ;
  2. Leikkaus S  ∩  I on ideaalissa  S ;
  3. Tekijärenkaat ( S  +  I ) /  I ja S  / ( S  ∩  I ) ovat isomorfisia.

Kolmas lause

Olkoon R rengas, A ja B ideaalit  R :ssä siten, että B  ⊆  A , niin:

  1. A  /  B on ihanteellinen  R  /  B ;
  2. Osamäärärenkaiden ( R  /  B )/( A  /  B ) osamäärä on isomorfinen osamäärärenkaan R  /  A kanssa .

Moduulit, Abelin ryhmät ja lineaariset avaruudet

Abelin ryhmien ja lineaaristen avaruuksien isomorfismilauseet ovat erityinen tapaus moduulien lauseista , jotka muotoillaan. Lineaarisista avaruuksista on lisätietoja artikkelista " lineaarinen kartoitusydin ".

Ensimmäinen lause

Olkoon sitten moduulien homomorfismi:

  1. Ydin φ on alimoduuli  M :ssä ;
  2. Kuva φ on  N :n alimoduuli ;
  3. Kuva φ on isomorfinen osamäärämoduulin M  / ker φ kanssa.

Toinen lause

Olkoon M moduuli, S ja T alimoduuleja  M :ssä , sitten:

  1. Summa S  +  T on alimoduuli muodossa  M ;
  2. Leikkaus S  ∩  T on alimoduuli muodossa  M ;
  3. Osamäärämoduuli (S + T) / T on isomorfinen osamäärämoduulin S  / ( S  ∩  T ) kanssa.

Kolmas lause

Olkoon M moduuli, S ja T alimoduuleja  M :ssä siten, että T  ⊆  S , niin:

  1. S  /  T on alimoduuli  M  /  T ;
  2. Tekijämoduulien tekijäjoukko ( M  /  T )/( S  /  T ) on isomorfinen tekijämoduulin M  /  S kanssa .

Katso myös