Tekijä rengas

Osamäärärengas on yleinen algebrallinen rakenne, joka mahdollistaa osamääräryhmän konstruktion laajentamisen renkaiden tapaukseen . Mikä tahansa rengas on lisäysryhmä , joten voimme tarkastella sen alaryhmää ja ottaa tekijäryhmän. Kuitenkin kertomisen määrittämiseksi oikein tälle osamääräryhmälle on välttämätöntä, että alkuperäinen aliryhmä suljetaan kertomalla mielivaltaisilla renkaan elementeillä, eli se on ideaali .

Määritelmä

Antaa ollakaksipuolinen ihannerenkaan . _ Määritellään ekvivalenssisuhde : $minä$ $R$ $R$

a\sim b

jos ja vain jos

ab\in I.

Elementin ekvivalenssiluokkaa kutsutaan nimellä tai ja sitä kutsutaan coset-luokaksi modulo the ideal. Osamäärärengas on joukko elementtien kosetteja modulo , joille yhteen- ja kertolaskuoperaatiot määritellään seuraavasti: $a$ $[a]$ $a+I$ $R/I$ $R$ $minä$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I

(a+I)\cdot (b+I)=ab+I

On helppo tarkistaa, että nämä operaatiot ovat hyvin määriteltyjä, eli ne eivät riipu tietyn coset-luokan edustajan valinnasta . Esimerkiksi kertolaskujen oikeellisuus tarkistetaan seuraavasti: anna . Sitten . Todistuksen viimeisessä vaiheessa ideaali suljetaan kertomalla renkaan elementillä (sekä vasemmalla että oikealla) ja suljetaan yhteenlaskulla. $a$ $a+I$ $a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{{1,2}}\in I$ $a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab +I$

Aiheeseen liittyvät lauseet

Rengashomomorfismin lause :

Jos on surjektiivinen homomorfismi renkaasta renkaaseen , niin ydin on renkaan ideaali ja rengas on isomorfinen osamäärärenkaaseen nähden .

f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

\ker \,f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

{\mathrm {K}}/\ker \,f

Kääntäen, jos on renkaan ideaali , niin ehdon määrittelemä kartta on renkaan homomorfismi ytimen kanssa .

{\mathrm {J}}

\mathrm{K}

f:{\mathrm {K}}\to {\mathrm {K/J}}

f(a)=a+{\mathrm {J}),\forall a\in {\mathrm {K}}

{\mathrm {J}}

{\mathrm {K/J}}

{\mathrm {J}}

Lause on analoginen ryhmähomomorfismin lauseen kanssa .

Renkaan ideaali on alkuluku ( maksimaalinen ) silloin ja vain, jos osamäärärengas on integraalirengas ( kenttä ). ${\mathrm {J}}$ $\mathrm{K}$ ${\mathrm {K/J}}$
Kiinan jäännöslauseen mukaan , jos ovat pareittain koprime-ideaalit (eli minkä tahansa kahden niistä summa on yhtä suuri kuin koko rengas), niin osamäärä rengas niiden tulolla (tai vastaavasti niiden leikkauspisteellä ) on isomorfinen muodon tekijöiden tulo . $I_{1},I_{2},\ldots I_{n}$ $R/(I_{i})$

Esimerkkejä

Antaa olla rengas kokonaislukuja , on ihanteellinen koostuu kerrannaisia . Sitten on äärellinen jäännösrengas modulo . Tällainen rengas on myös merkitty tai . [yksi] $\mathbb {Z}$ $n{\mathbb Z}$ $n$ ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ $n$ $\mathbb Z_n$ $\mathbb {Z} /(n)$
Tarkastellaan polynomirengasta todellisilla kertoimilla ja ideaalia, joka koostuu polynomeista, jotka ovat kerrannaisia . Tekijärengas on isomorfinen kompleksilukujen kentän kanssa : luokka vastaa imaginaarista yksikköä. Todellakin, osamäärärenkaassa alkiot ja ovat ekvivalentteja, eli . ${\mathbb R}[x]$ $x^{2}+1$ ${\mathbb R}[x]/(x^{2}+1)$ $[x]$ $x^{2}+1$ $0$ $x^{2}=-1$
Yleistäen edellisen esimerkin, tekijärenkaita käytetään usein kenttälaajennusten rakentamiseen . Antaa olla jonkin kentän ja olla redusoitumaton polynomi vuonna . Sitten on kenttä, ja tämä kenttä sisältää ainakin yhden polynomin juuren , elementin vierekkäisyysluokan . $K$ $f(x)$ $K[x]$ $K[x]/(f(x))$ $f(x)$ $x$
Tärkeä esimerkki aiemman rakenteen käytöstä on äärellisten kenttien rakentaminen . Tarkastellaan kahden elementin rajallista kenttää (jota tässä yhteydessä yleensä merkitään ). Polynomi on redusoitumaton tämän kentän yli (koska sillä ei ole juuria), joten osamäärärengas on kenttä. Tämä kenttä koostuu neljästä elementistä: 0, 1, x ja x +1. Kaikki äärelliset kentät voidaan rakentaa samalla tavalla. ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $\mathbb {F} _{2}$ $x^{2}+x+1$ ${\mathbb F}_{2}[x]/(x^{2}+x+1)$

Muistiinpanot

↑ Lidl, Niederreiter, 1998 , Esimerkki 1.37, s. 27.

Kirjallisuus

Vinberg E.B. Algebran kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M . : Mir, 1972. - 160 s.
Lidl R., Niederreiter G. Äärilliset kentät. 2 osassa - M .: Mir, 1998. - 430 s. — ISBN 5-03-000065-8 .