Quaternion ryhmä

Ryhmäteoriassa kvaternion ryhmä on ei - Abelin kahdeksannen kertaluvun ryhmä , isomorfinen kahdeksan kvaternionin joukolle kertolaskuoperaatiolla. Sitä merkitään usein kirjaimella Q tai Q 8 , ja sen määrää ryhmän tehtävä

Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk= -1\rangle ,

jossa 1 on identiteettielementti ja elementti −1 kommutoidaan ryhmän muiden elementtien kanssa.

Earl of Cayley

Q 8 -ryhmällä on sama järjestys kuin dihedraalisella ryhmällä D 4 , mutta sillä on erilainen rakenne, kuten voidaan nähdä Cayleyn kaavioista ja syklikaavioista :

Earl of Cayley		syklin kaavio
Q 8 Punaiset nuolet osoittavat kertolaskua oikealle i :llä ja vihreät nuolet osoittavat kertolaskua oikealle j :llä .	D 4 Dihedral ryhmä	Q8_ _	Dih 4

Dihedraaliryhmä D 4 saadaan jaetuista kvaternioneista samalla tavalla kuin Q 8 kvaternioneista.

Cayleyn pöytä

Cayley -taulukko (kertotaulukko) Q :lle [1] :

Q × Q	yksi	−1	i	− i	j	− j	k	− k
yksi	yksi	−1	i	− i	j	− j	k	− k
−1	−1	yksi	− i	i	− j	j	− k	k
i	i	− i	−1	yksi	k	− k	− j	j
− i	− i	i	yksi	−1	− k	k	j	− j
j	j	− j	− k	k	−1	yksi	i	− i
− j	− j	j	k	− k	yksi	−1	− i	i
k	k	− k	j	− j	− i	i	−1	yksi
− k	− k	k	− j	j	i	− i	yksi	−1

Kuuden imaginaarisen yksikön {± i , ± j , ± k } kertolasku toimii yksikkövektorien vektoritulona kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa .

{\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat))

Ominaisuudet

Kvaternioniryhmällä on epätavallinen ominaisuus olla Hamiltonin - mikä tahansa ryhmän Q alaryhmä on normaali alaryhmä , eikä itse ryhmä ole Abelin. [2] Mikä tahansa Hamiltonin ryhmä sisältää kopion Q :sta . [3]

Voidaan rakentaa neliulotteinen vektoriavaruus kantalla {1, i , j , k } ja muuttaa se assosiatiiviseksi algebraksi käyttämällä yllä olevaa kantavektorin kertolaskutaulukkoa ja jatkamalla distributiivisuuden mukaan kertomista . Tuloksena oleva algebra on kvaternionien runko . Huomaa, että tämä ei ole sama kuin ryhmäalgebra Q (jolla on ulottuvuus 8). Päinvastoin voidaan aloittaa kvaternioneista ja määritellä kvaternioniryhmä multiplikatiiviseksi alaryhmäksi, joka koostuu kahdeksasta alkiosta {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Monimutkaista neliulotteista vektoriavaruutta, jolla on sama perusta, kutsutaan bikvaternionalgebraksi .

Huomaa, että i , j ja k ovat järjestyksessä 4 Q :ssa ja mitkä tahansa niistä muodostavat koko ryhmän. Toinen Q - ryhmätehtävä [4] , joka näyttää tämän:

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .

Voit esimerkiksi ottaa i = x , j = y ja k = xy .

Ryhmän Q keskus ja kommutaattori on alaryhmä {±1}. Tekijäryhmä Q /{±1} on isomorfinen Kleinin neljän ryhmän V kanssa . Ryhmän Q sisäisten automorfismien ryhmä on isomorfinen osamääräryhmän Q kanssa keskustan suhteen, ja siksi se on isomorfinen myös Kleinin nelinkertaisen ryhmän kanssa. Ryhmän Q täysi automorfismiryhmä on isomorfinen S 4 :n , neljän kirjaimen symmetrisen ryhmän kanssa . Q :n ulompi automorfismiryhmä on S4 / V , joka on isomorfinen S3 : n kanssa .

Matriisiesitys

Kvaternioniryhmä voidaan esittää täyden lineaarisen ryhmän GL2 ( C ) alaryhmänä . Esitys

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}_{{2}}({\mathbf {C}})

määritellään matriiseilla [5]

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}

Koska kaikilla yllä olevilla matriiseilla on yksikködeterminantteja , ne määrittelevät ryhmän Q esityksen erityisessä lineaarisessa ryhmässä SL2 ( C ).

Ryhmän Q on myös tärkeä toiminto kahdeksalle nollasta poikkeavalle kaksiulotteisen vektoriavaruuden elementille äärellisen kentän F3 yli . Esitys

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}(2,3)

matriisien määräämä

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

missä {−1,0,1} ovat kolme kentän F 3 alkiota . Koska kaikkien kentän F 3 matriisien determinantti on yhtä suuri kuin yksi, tämä on ryhmän Q esitys erityisessä lineaariryhmässä SL(2, 3). Lisäksi ryhmän SL(2, 3) järjestys on 24, ja Q on ryhmän SL(2, 3) normaali alaryhmä indeksistä 3.

Galois-ryhmä

Kuten Richard Dean osoitti vuonna 1981, kvaternioniryhmä voidaan antaa Galois'n ryhmänä Gal( T / Q ), missä Q on rationaalilukukenttä ja T on polynomin hajottelukenttä .

x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36

yli Q. _

Todistuksessa käytetään Galois'n teorian peruslausetta sekä kahta lausetta 4 asteen syklisistä laajennuksista. [6]

Yleistetty kvaternion ryhmä

Ryhmää kutsutaan yleistetyksi kvaternioniryhmäksi (tai disykliseksi ryhmäksi ), jos sillä on tehtävä [4]

\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .

jollekin kokonaisluvulle n ≥ 2. Tämä ryhmä on merkitty Q 4 n ja sen kertaluku on 4 n . [7] Coxeter viittasi näihin disyklisiin ryhmiin <2,2,n>, pitäen niitä binäärisen monitahoisen ryhmän <l,m,n> erikoistapauksena, joka liittyy monitahoisiin ryhmiin (p, q,r) ja kaksitahoinen ryhmä (2,2,n). Tavallinen kvaternioniryhmä vastaa tapausta n = 2. Yleistetty kvaternioniryhmä on isomorfinen elementtien generoiman GL 2 :n ( C ) alaryhmän kanssa.

\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&\overline {\omega }_{n}\end{array}}\right)

\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)

missä ω n = e iπ/ n [4] . Se on myös isomorfinen kvaternionien x = e iπ/ n ja y = j generoiman ryhmän [8] kanssa.

Brouwer-Suzuki-lause sanoo, että ryhmät, joille Sylow 2-alaryhmät ovat yleistettyjä kvaternioneja, eivät voi olla yksinkertaisia.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Katso myös taulukko, arkistoitu 28. huhtikuuta 2018 Wayback Machinessa Wolfram Alpha -verkkosivustolla
↑ Katso Hall (1999), s. 190 Arkistoitu 6. elokuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Kurosh A.G. Ryhmäteoria. - M . : Nauka, 1967. - S. 57.
↑ 1 2 3 Johnson, 1980 , s. 44-45.
↑ Artin, 1991 .
↑ Dean, Richard (1981). "Rationaalinen polynomi, jonka ryhmä on kvaternionit". The American Mathematical Monthly 88(1): 42–45. .
↑ Jotkut kirjoittajat (esim. Rotman, 1995 , s. 87, 351) kutsuvat tätä ryhmää disykliseksi ryhmäksi jättäen nimen yleistynyt kvaternioniryhmä tapaukselle, jossa n on kahden potenssi.
↑ Brown, 1982 , s. 98.

Kirjallisuus

Michael Artin. Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-13-004763-2 .
Kenneth S. Brown. Ryhmien kohemologia. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homologinen algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
Richard A. Dean. Rationaalinen polynomi, jonka ryhmä on kvaternionit // American Mathematical Monthly . - 1981. - S. 88:42–5 .
D. Gorenstein. Rajalliset ryhmät. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
David L Johnson Ryhmäesitysten teorian aiheita. - Cambridge University Press , 1980. - ISBN 978-0-521-23108-4 .
Joseph J. Rotman. Johdatus ryhmäteoriaan. - 4. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
P.R. Girard. Kvaternioniryhmä ja moderni fysiikka // European Journal of Physics. - 1984. - S. 5:25–32 .
Marshall Hall. Ryhmien teoria. - 2. - AMS Bookstore, 1999. - ISBN 0-8218-1967-4 .
Alexander G. Kurosh. Ryhmien teoria. - AMS Bookstore, 1979. - ISBN 0-8284-0107-1 .

Ulkoiset linkit

Weisstein, Eric W. Quaternion-ryhmä (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .