Kaksoissuhde

Lukujen nelinkertaisen , , ( todellisen tai kompleksisen ) kaksoissuhde (tai yhdistesuhde tai vanhentunut anharmoninen suhde ) määritellään seuraavasti $a$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)={\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}.

Siellä on myös symboleja ja . ${\näyttötyyli (a,b;c,d)}$ ${\näyttötyyli [a,b;c,d]}$

Ominaisuudet

$(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$
Kaksoissuhde säilyy lineaaristen murto-osien muunnoksissa , etenkään se ei riipu viivan koordinaattien valinnasta.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

Erityisesti, jos numeroneljän kaksoissuhde on , minkä tahansa 4:n 24 permutaatiosta kaksoissuhde on yhtä suuri kuin yksi seuraavista kuudesta arvosta:

\lambda

\lambda ,{\frac {1}{\lambda )),1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda )),{\frac {\lambda -1}{\lambda } },{\frac {\lambda }{\lambda -1))

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yhdellä ( todellisella tai kompleksisella ) suoralla sijaitsevan neljän pisteen , , kaksois- (tai kompleksi) suhdetta kutsutaan numeroksi $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {ca}{cb)):{\frac {da}{db)),

jossa , , , merkitsee pisteiden , , , koordinaatteja . Kaksoissuhde ei riipu viivan koordinaatin valinnasta. Usein se kirjoitetaan myös näin: $a$ $b$ $c$ $d$ $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {AC}{BC)):{\frac {AD}{BD)),

tarkoittaa, että (vastaavasti ) tarkoittaa suunnattujen segmenttien suhdetta . $AC/BC$ $AD/BD$

Suoran neljän pisteen kaksoissuhde säilyy tason tai avaruuden projektiivisissa muunnoksissa .

Yhden pisteen läpi kulkevien neljän rivin , , kaksoissuhde on luku $a$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c))):{\frac {\sin(a,d)}{\sin( b,d)}},

jonka merkki valitaan seuraavasti: jos yksi kulmista muodostama linjat ja ei leikkaa mitään riviä tai (tässä tapauksessa pari riviä ja ei erota pari riviä ja ), niin ; muuten . $a$ $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $c$ $d$ $(ab,cd)>0$ $(ab, cd)<0$

Olkoon neljä suoraa , , , kulkevat pisteen läpi , ja viiva ei sisällä . Olkoon linjat , , , leikkaavat vastaavasti pisteissä , , ja . Sitten $a$ $b$ $c$ $d$ $O$ $\ell$ $O$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\ell$ $A$ $B$ $C$ $D$ $(ab,cd)=(AB,CD).$

Katso myös

Linkit

R. Courant , G. Robbins , Mikä on matematiikka?
Pisteiden anharmoninen suhde // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Huivi, Michel . Neljän pisteen tai neljän viivan anharmonisesta funktiosta // Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen. T. 2. Noin IX. M., 1883.