Puolitoista rivin muotoinen

Seskvilineaarinen muoto on yleistys bilineaarisen muodon käsitteestä . Yleensä seskvilineaarinen muoto on funktio f(x, y) kahdesta vektoriavaruuden vektorista kentän arvoilla tässä kentässä, jos se on lineaarinen jokaisen kiinteän ja puolilineaarisen funktiona . toiminto jokaiselle kiinteälle . Puolilineaarisuuden vaatimus tarkoittaa, että seuraavat ehdot täyttyvät: [1] $V$ $\mathbb {C}$ $x$ $y$ $y$ $x$ $y$

$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Näin ollen tietyt muodot syntyvät luonnollisesti fysiikan sovelluksissa.

On olemassa yleistys tapaukseen, jossa vektoriavaruutta tarkastellaan mielivaltaisen kentän yli , niin kompleksikonjugaatio korvataan mielivaltaisella kiinteällä kentän automorfismilla . Projektiivisessa geometriassa ajatellaan joskus vielä suurempaa yleistystä, kun vektoriavaruuden sijasta käytetään mielivaltaisen kappaleen ylittävää moduulia . $K$

Argumenttien järjestyskäytännöt

Johdannossa annettu määritelmä on lineaarinen ensimmäisessä argumentissa ja puolilineaarinen toisessa. Tätä käytäntöä käytetään usein matemaattisessa kirjallisuudessa. On kuitenkin syytä huomata, että fysikaalisessa kirjallisuudessa ensimmäisen argumentin puolilinjaisuutta käytetään useammin [2] , tämä sopimus juontaa juurensa Diracin kvanttimekaniikassa käyttöönottamista nimityksistä bra ja ket .

Kompleksisessa vektoriavaruudessa

Kompleksisen vektoriavaruuden kartoitusta kutsutaan seskvilineaariksi, jos : $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

{\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y) ,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}

kaikille ja kaikille Tässä tarkoittaa luku, joka on monimutkainen konjugoitu numeroon ${\näyttötyyli x,y,z,w\in V}$ $a,b\in \mathbb {C} .$ $\overline {b}$ $b.$

Monimutkaista seskvilineaarista muotoa voidaan pitää myös monimutkaisena bilineaarisena kartoitusna

V × V ¯ → C , {\displaystyle V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,}

V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,

missä on kompleksikonjugaattivektoriavaruus avaruuteen

{\overline {V))

V.

Kiinteälle kartalle kartoitus on lineaarinen funktionaalinen funktio , eli kaksoisavaruuden elementti . Vastaavasti kiinteän paikan kartoitus on antilineaarinen funktio $w\in V$ $z\mapsto \varphi (z,w)$ $V$ $V^*$ $w\mapsto \varphi (z,w)$ $z$ $V.$

Minkä tahansa monimutkaisen seskvilineaarisen muodon osalta voimme tarkastella toista muotoa kaavalla: $\varphi$ $\psi$

ψ ( w , z ) = φ ( z , w ) ¯ . {\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).}

\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).

Yleisessä tapauksessa ja on erilainen, ja niiden matriisit ovat Hermitian konjugaatti . Jos muodot täsmäävät, sen sanotaan olevan hermiittinen . Vastaavasti, jos ne ovat vastakkaisia toisiaan vastaan, sen sanotaan olevan vino-hermiittinen .

\psi

\varphi

\varphi

\varphi

Matriisiesitys

Olkoon äärellisulotteinen kompleksinen vektoriavaruus, jolloin seskvilineaarinen muoto voidaan esittää millä tahansa

perusteella seuraavan kaavan matriisin avulla:

V

{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i))

\varphi

\Phi

φ ( w , z ) = φ ( ∑ i w i e i , ∑ j z j e j ) = ∑ i ∑ j w i z j ¯ φ ( e i , e j ) = w T Φ z ¯ . {\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ summa _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.}

\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ summa _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.

Matriisielementit määritetään ehdosta

\Phi

\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).

Eremiittiset muodot

Hermiittinen muoto (myös sesquilineaarinen symmetrinen muoto ) on sesquilineaarinen muoto kompleksisessa avaruudessa siten, että $h:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ . {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w))).}

h(w,z)={\overline {h(z,w))).

Tällaisen muodon positiivisen definiteetin tapauksessa (määritelty samalla tavalla kuin bilineaarisessa tapauksessa) puhutaan hermiitistä skalaarituloa . Hermitian standardituote saadaan kaavasta

⟨ w , z ⟩ = ∑ i = yksi n w i z ¯ i . {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}

\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.

Paria vektoriavaruudesta ja sille määritettyä hermiitistä muotoa kutsutaan

hermiittilavaruudeksi ja positiivisesti määritellyssä tapauksessa kompleksiseksi Hilbert-avaruudeksi . Kun kirjoitetaan hermiittistä muotoa mielivaltaisesti, saadaan hermiittinen matriisi .

{\näyttötyyli (V,h)}

Käytettäessä Hermitian muotoa samaan vektoriin

| z | h = h ( z , z ) {\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}

|z|_{h}=h(z,z)

aina todellinen luku . Voidaan osoittaa, että monimutkainen seskvilineaarinen muoto on hermiittinen silloin ja vain, jos vastaava neliömuoto on todellinen kaikille

z\in V.

Vino-Hermitian muodot

Vino -Hermitian muoto on kiiltolinjainen muoto monimutkaisessa avaruudessa siten, että $s:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

s ( w , z ) = − s ( z , w ) ¯ . {\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).}

s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).

Jokainen vino-hermiittinen muoto voidaan esittää hermiittisenä kerrottuna .

i

Kun kirjoitetaan vino-hermiittinen muoto mielivaltaisesti, saadaan vino-hermiittinen (anti-hermiittinen) matriisi .

Käytettäessä vino-hermitian muotoa samaan vektoriin

| z | s = s ( z , z ) {\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}

|z|_{s}=s(z,z)

aina puhtaasti kuvitteellinen luku .

Jakorenkaan yläpuolella

Sesquilineaarisen muodon käsite voidaan yleistää mielivaltaiseksi jakorenkaaksi. Kommutatiivisessa tapauksessa tämä on eheyden alue, ei-kommutatiivisessa tapauksessa käytetään useimmiten erikoistapausta, jolloin rengas on vinokenttä . Seuraavassa kommutatiivisessa tapauksessa kaikkia antiautomorfismeja voidaan pitää yksinkertaisesti automorfismina, koska nämä käsitteet ovat samat kommutatiivisille renkaille.

Määritelmä

Antaa olla jakorengas ja olla tämän renkaan kiinteä

antiautomorfismi . Tällöin vasemman -moduulin -sesquilinear muoto on bilineaarinen kuvaus siten , että minkä tahansa moduulin ja minkä tahansa seuraavan skalaarien pätee:

K

\sigma

\sigma

K

M

\varphi \colon M\times M\to K

x,y

M

\alpha ,\beta

K

\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).

Ortogonaalinen täydennys

Tietylle seskvilineaariselle muodolle moduulissa ja moduulin

alimoduulissa ortogonaalinen komplementti on

\varphi

M

W

M

W

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.

Vastaavasti elementin sanotaan olevan

ortogonaalinen elementtiin nähden muodon suhteen, jos . Tätä merkitään , tai yksinkertaisesti , jos muoto on selkeä asiayhteydestä. Tämä suhde ei välttämättä ole symmetrinen , eli se ei seuraa . Jos kaikille seuraaville , niin muotoa kutsutaan refleksiiviseksi .

x \ in M

y\in M

\varphi

\varphi (x,y)=0

x\perp _{\varphi }y

x\perp y

x\perp y

y\perp x

x,y

x\perp y

y\perp x

Esimerkki

Antaa olla kolmiulotteinen vektoriavaruus

äärellisen kentän yli , jossa on alkuluvun teho . Olkoon kaksi vektoria ja annetaan koordinaatit vakioperusteella ja . Sitten kartoitus voidaan määritellä kaavalla:

V

F=\operaattorin nimi {GF} (q^{2})

q

x

y

(x_1,x_2,x_3)

{\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))

\varphi

\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{ }^{q}.

Kartoitus on automorfismi , joka on

involuutio . Kartta on seskvilineaarinen muoto. Tämä muoto on hermiittinen, ja tätä muotoa vastaava matriisi vakiopohjassa on yksinkertaisesti identiteettimatriisi .

{\displaystyle \sigma :t\mapsto t^{q))

F

\varphi

\sigma

{\displaystyle M_{\varphi ))

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. VI, § 6.3. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ huomautus 1 Anthony Knapp Basic Algebrassa (2007) s. 255 Arkistoitu 31. lokakuuta 2021 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berliini, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , < https://archive.org/details/finitegeometries00000dembies00 >
Gruenberg, KW & Weir, AJ (1977), Linear Geometry (2. painos), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009), Basic Algebra I (2. painos), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Ulkoiset resurssit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Sesquilinear muoto , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4