Alamoduuli

Alimoduuli on moduulin osajoukko , joka on sen additiivisen ryhmän aliryhmä ja joka on suljettu päärenkaan elementeillä kertomalla . Erityisesti renkaan vasen (oikea) ideaali on vasemman (oikean) -moduulin alimoduuli . $R$ $R$ $R$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Alimoduulia, joka eroaa koko moduulista, kutsutaan alkuperäiseksi moduuliksi .
Alimoduulia kutsutaan suureksi (tai olennaiseksi ), jos sillä on nollasta poikkeava leikkauspiste minkä tahansa muun nollasta poikkeavan alimoduulin kanssa.
- Esimerkiksi kokonaisluvut muodostavat rationaalisten lukujen ryhmän suuren alimoduulin.
Jokainen moduuli on sen injektiokuoren suuri alimoduuli .
Moduulin alimoduulia kutsutaan pieneksi (tai samanarvoiseksi ), jos minkä tahansa alimoduulin yhtäläisyys edellyttää . $A$ $B$ $A'\subset B$ $A+A'=B$ $A'=B$
- Esimerkiksi ketjumoduulin jokainen oikea alimoduuli osoittautuu pieneksi .

Tietyn moduulin osamoduulien joukko inkluusiojärjestyksessä on täydellinen Dedekind- hila .
Kaikkien pienten alimoduulien summa on sama kuin kaikkien maksimialimoduulien leikkauspiste.
Vasen ihanne kuuluu Jacobsonin radikaaliin silloin ja vain jos se on pieni mille tahansa äärellisesti generoidulle vasemmalle moduulille . $minä$ $IM$ $M$ $M$
Pienen alimoduulin elementit ovat ei-generaattoreita, eli mikä tahansa moduulin generaattorijärjestelmä pysyy sellaisena sen jälkeen, kun jokin näistä elementeistä on poistettu (tämä ei tietenkään tarkoita, että ne voidaan poistaa kerralla!) .
Moduulin endomorfismirenkaan Jacobson-radikaali osuu yhteen niiden endomorfismien joukon kanssa, joilla on pieni kuva.
Jos on moduulin homomorfismi moduuliksi , niin joukko osoittautuu moduulin alimoduuliksi ja sitä kutsutaan homomorfismin ytimeksi . $\phi$ $A$ $B$
$\phi ^{-1}(0)\subset A$
$A$ $\phi$
- Jokainen alimoduuli toimii jonkin homomorfismin ytimenä.

Kash F. Moduulit ja renkaat, - per. julkaisusta German, M. , 1981;
Face K. Algebra: renkaat, moduulit ja luokat, - per. englannista, osa 1-2, Moskova , 1977-79.