Pascalin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Pascalin lause [1] on projektiivisen geometrian klassinen lause .

Sanamuoto

Jos kuusikulmio on piirretty ympyrään (tai mihin tahansa muuhun kartioleikkaukseen - ellipsiin , paraabeliin , hyperboliin tai jopa suoriin ), niin kolmen vastakkaisen sivun parin leikkauspisteet ovat samalla suoralla. Tätä riviä kutsutaan Pascalin riviksi [2] .

Historia

Ensimmäisen kerran Blaise Pascal muotoili ja todisti sen 16-vuotiaana Pappuksen lauseen yleistyksenä . Pascal otti tämän lauseen pohjaksi tutkielmalleen kartioleikkauksista. Itse tutkielma on kadonnut ja siitä tiedetään vain yhteenveto Leibnizin kirjeestä, jolla se oli Pariisissa oleskelunsa aikana käsissään, sekä Pascalin itsensä laatimasta tiivistelmästä tämän tutkielman päälauseista (Experiment on conic osiot). Pascal itse piti Pappuksen lauseen suoraparia kartioleikkauksena ja Pappuksen lausetta hänen lauseensa erikoistapauksena.

Tietoja todisteista

Yksi todisteista käyttää kaksoislaskentaa .
Mahdollinen todistus perustuu Menelaoksen lauseen johdonmukaiseen soveltamiseen .
Projektiivisen muunnoksen avulla voidaan muuntaa kuvattu kartio ympyräksi, kun taas lauseen ehto säilyy. Ympyrän osalta lause voidaan todistaa isogonaalisen konjugaation olemassaolosta .
- Ympyrään piirretyn kuperan monikulmion tapauksessa on mahdollista suorittaa projektiivinen muunnos , joka jättää ympyrän paikoilleen, ja kahden vastakkaisen sivun parin leikkauspisteiden kautta kulkeva viiva voidaan viedä äärettömään. Tässä tapauksessa lauseen väite tulee ilmeiseksi.
Mahdollinen todistus voisi myös perustua 9 pisteen noppaan -lauseeseen .

Sovellus

Voit rakentaa kartioleikkauksen viiden pisteen verran pisteiden paikaksi, joka vastaa konfiguraation kuusikulmion kuudetta pistettä.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Pascalin lause on kaksoislause Brianchonin lauseen kanssa .

Jos kuusikulmion päälävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä, niin Pascalin lauseessa syntynyt vastaava suora on tämän pisteen napa suhteessa kartioon, johon kuusikulmio on merkitty.
- Yleisesti ottaen Pascalin lauseen viiva kartioon kirjoitetulle kuusikulmiolle on polaarinen suhteessa Brianchonin lauseen kuusikulmion pisteeseen, joka muodostuu alkuperäisen kuusikulmion kärkien tangenteista. ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$

Lause pätee myös siinä tapauksessa, että kaksi tai jopa kolme vierekkäistä kärkeä kohtaavat (mutta enintään kaksi yhdessä pisteessä). Tässä tapauksessa suoran tangentti tässä pisteessä on suora, joka kulkee kahden yhtenevän kärjen kautta. Erityisesti:
- Toisen asteen linjan tangentti, joka on piirretty yhteen piirretyn viisikulmion kärjestä, leikkaa tämän kärkipisteen vastakkaisen sivun pisteessä, joka on suoralla linjalla, joka kulkee tämän pisteen muiden ei-vierekkäisten sivuparien leikkauspisteiden kautta viisikulmio.
- Jos ABCD on nelikulmio, joka on merkitty 2. kertaluvun viivaan, niin kärkien C ja D tangenttien leikkauspisteet sivujen AD ja BC kanssa sekä linjojen AB ja CD leikkauspiste ovat yhdellä linja.
- Jos ABCD on nelikulmio, joka on merkitty 2. kertaluvun viivaan, niin kärkien C ja D tangenttien leikkauspisteet, suorat AC ja BD sekä suorat AD ja BC ovat samalla suoralla.
- Toisen asteen linjaan vastakkaisten sivujen kanssa piirretyn kolmion kärkien tangenttien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.
  - Tätä viivaa kutsutaan annetun kolmion Pascal-viivaksi .

Vuonna 1847 ilmestyi Möbiuksen tekemä yleistys Pascalin lauseesta , joka kuulostaa tältä:
- Jos monikulmio , jossa on sivuja, on piirretty kartioleikkaukseen ja sen vastakkaiset sivut pidennetään siten, että ne leikkaavat pisteen, niin jos nämä pisteet sijaitsevat suoralla, viimeinen piste on samalla suoralla. $4n+2$ $2n+1$ $2n$

Kirkmanin lause : Olkoot pisteet , , , , ja samalla kartioleikkauksella. Sitten Pascalin linjat kuusikulmiot , ja leikkaavat yhdessä pisteessä. $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $ABFDCE$ $AEFBDC$ $ABDFEC$

Lause noin 9 pistettä kuutiossa

Lisäkuvia

Muistiinpanot

↑ Tunnetaan myös latinalaisella nimellä hexagrammum mysticum theorem
↑ Dmitri Efremov . Uusi kolmiogeometria arkistoitu 25. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa . - Odessa, 1902. - S. 7-8. I luku, 11 kohta.

Kirjallisuus

Kotelnikov K. Pascalin kuusikulmio // V.O.F.E.M. . - 1888. - Nro 50 . - S. 34-35 .
Pascal . Kokeilu kartioleikkauksilla Leibnizin E. Perrierille osoittaman kirjeen liitteenä. Käännös ja kommentit: G. I. Ignatius. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . Numero XIV.
Freivert D. M. Uusi aihe euklidisessa geometriassa tasossa: "Pascal-pisteiden" teoria, joka muodostetaan käyttämällä ympyrää nelikulmion sivuilla . - 2019. - S. 37-42 .
Huivi . Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen . Ch. 2, § 16-19. M., 1883.
R. Courant, G. Robbins, Mitä on matematiikka? IV luku, § 8.4.
Live Drawings ( Javalla )
- Pascalin lause : Leikkaa solmu
- Pascalin lause
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0 .
D. Fraivert. Kuperan nelikulmion ja Pascal-pisteitä muodostavan ympyrän teoria - kuperan nelikulmion sivuilla olevien Pascal-pisteiden ominaisuudet // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 40 . — s. 1–34. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121666 .
D. Fraivert. Pascal-pisteympyrän ominaisuudet nelikulmiossa, jossa on kohtisuorat lävistäjät // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - s. 509-526.