Projektin rakentaminen

Proj on konstruktio, joka on samanlainen kuin affiinikaavioiden rakentaminen renkaiden spektreiksi , jonka avulla rakennetaan kaavioita , joilla on projektiivisten tilojen ja projektiivisten variaatioiden ominaisuuksia .

Tässä artikkelissa kaikkien renkaiden oletetaan olevan kommutatiivisia renkaita, joilla on identiteetti.

Proj arvostetusta renkaasta

Proj sarjana

Olkoon luokiteltu rengas , missä $S$

{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i))

on luokitukseen liittyvä suora summahajotus .

Merkitse ihanteella Määrittelemme joukon Proj S kaikkien homogeenisten yksinkertaisten ihanteiden joukoksi , jotka eivät sisällä $S_+$ $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ $S_{+}.$

Seuraavassa lyhyyden vuoksi merkitsemme joskus Proj S :tä X .

Proj topologisena avaruudena

Voimme määritellä topologian, jota kutsutaan Zariski-topologiaksi Proj S :lle määrittelemällä suljetut joukot muotojoukoiksi

V(a)=\{p\in \operaattorinimi {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},

missä a on S :n homogeeninen ideaali . Kuten affinisten kaavioiden tapauksessa, on helppo varmistaa, että V ( a ) ovat jonkin topologian suljettuja joukkoja X :ssä .

Todellakin, jos on ihanteiden perhe, niin ja jos joukko I on äärellinen, niin . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I))$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

Vastaavasti voidaan aloittaa avoimista joukoista ja määritellä

D(a)=\{p\in \operaattorinimi {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.

Vakiolyhenteellä D ( Sf ) merkitään D ( f ), missä Sf on f :n generoima ideaali . Jokaiselle a : lle D ( a ) ja V ( a ) ovat ilmeisesti täydentäviä, ja yllä oleva todiste osoittaa, että D ( a ) muodostaa topologian Proj S :lle . Tämän lähestymistavan etuna on, että D ( f ), jossa f kulkee kaikkien S :n homogeenisten elementtien läpi , muodostaa perustan tälle topologialle, joka on välttämätön työkalu Proj S :n tutkimiseen , samoin kuin rengasspektrien tapauksessa.

Proj skeemana

Rakennamme myös Proj S :lle nipun , jota kutsutaan rakennelyhdeksi, joka muuttaa sen piiriksi. Kuten Spec-konstruktion tapauksessa, tähän on useita tapoja: suorin, joka muistuttaa myös säännöllisten funktioiden rakentamista projektiiviseen monistoon klassisessa algebrallisessa geometriassa, on seuraava. Jokaiselle avoimelle joukolle U Proj S :ssä määritämme renkaan kaikkien funktioiden joukoksi $O_{X}(U)$

{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)))

(jossa tarkoittaa pisteen paikallisen renkaan alijoukkoa , joka koostuu osittaisista homogeenisista samanasteisista alkioista) siten, että jokaiselle U : n alkuideaalille p : $S_{(p)}$ $S_p$ $s$

f(p) on elementti ; $S_{(p)}$
joukossa U on avoin osajoukko V , joka sisältää p , ja renkaan S homogeeniset alkiot s , t , jotka ovat samaa luokkaa siten, että jokaiselle V : n alkuideaalille q :
- t ei ole q :ssa ;
- f(q) = s/t .

Määritelmästä seuraa välittömästi, että ne muodostavat renkaiden nipun Proj S :ssä , ja voidaan osoittaa, että pari (Proj S , ) on skeema (lisäksi jokainen D(f) :n osajoukko on affiinikaavio). $O_{X}(U)$ $O_{X}$ $O_{X}$

Arvioituun moduuliin liittyvä nippu

S :n olennainen ominaisuus yllä olevassa konstruktiossa oli mahdollisuus rakentaa lokalisaatiot jokaiselle S : n alkuideaalille p . Tämä ominaisuus on myös millä tahansa porrastetulla moduulilla M yli S , ja siksi edellä olevan osan rakenne, pienin muutoksin, mahdollistaa sen, että voimme rakentaa tällaiselle M : lle -moduulien nippu Proj S :lle , jota merkitään . Rakenteeltaan tämä palkki on kvasikoherentti . Jos S generoidaan äärellisellä määrällä 1-asteen alkioita (eli on polynomirengas tai sen tekijä), kaikki proj S :n kvasikoherentit pyörät saadaan porrastetuista moduuleista käyttämällä tätä rakennetta. [1] Vastaava arvosteltu moduuli ei ole ainutlaatuinen. $S_{(p)}$ $O_{X}$ ${\tilde {M}}$

Serran kiertyvä palkki

Arvioituun moduuliin liittyvän lyhden erikoistapaus on, kun otamme itse S :n M :ksi eri luokittelulla: nimittäin katsomme moduulin M asteen ( d + 1) alkiot asteen ( d + 1) elementteiksi. renkaan S ja merkitsevät M = S (1). Saamme kvasikoherentin lyhteen Proj S :lle , jota merkitään tai yksinkertaisesti O (1) ja jota kutsutaan kiertyväksi Serren nipuksi . Voidaan varmistaa, että O (1) on käännettävä nippu . ${\tilde {M}}$ $O_{X}(1)$

Yksi syy O (1) on hyödyllinen se, että sen avulla voit palauttaa rakenteessa menetetty algebrallinen tieto S :stä, kun siirrytään potenssin 0 osamäärään. Spec A :n tapauksessa renkaalle A rakenteen globaalit osat lyhteet ovat itse A , niin kuten meidän tapauksessamme lyhden globaalit osat koostuvat alkioista S , joiden aste on 0. Jos määrittelemme $O_{X}$ $O_{X}$

O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)

silloin jokainen O ( n ) sisältää aste- n informaatiota S :stä. Vastaavasti S -moduuliin M liitetylle -moduulien N nippulle voimme määritellä $O_{X}$

N(n)=N\times O(n)

ja odottaa, että tämä kierretty nippu sisältää kadonneen tiedon M :stä . Tämä viittaa, vaikkakin väärin, että S voidaan rekonstruoida näistä pyöristä; tämä on itse asiassa totta, jos S on polynomirengas, katso alla.

n -ulotteinen projektitiiviavaruus

Jos A on rengas, määritämme kaavioksi n - ulotteisen projektiivisen avaruuden A :n päälle

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operaattorinimi {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].

Määritämme renkaan arvosanan olettaen, että jokaisella on aste 1 ja jokaisella A :n elementillä on aste 0. Vertaamalla tätä yllä annettuun O (1):n määritelmään, näemme, että O (1):n osat ovat generoituja lineaarisia homogeenisia polynomeja . elementtien mukaan . $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $x_i$ $x_{i}$

Esimerkkejä

Jos otamme kantarenkaaksi , niin sillä on kanoninen projektiivinen morfismi affiinille viivalle , jonka kuidut ovat elliptisiä käyriä lukuun ottamatta pisteiden yli olevia kerroksia, joiden yli kerrokset rappeutuvat solmukäyriksi. $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ ${\text{Proj))(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ $\mathbb {A} _{\lambda }^{1}$ $\lambda =0,1$
Projektiivinen hyperpinta on esimerkki 3D-Fermat-kvintiikasta, joka on myös Calabi-Yau-monitori . ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\right)$
Jos harkitsemme triviaalia luokittelua , eli for , niin . $A$ $A_{0}=A$ $A_{i}=0$ $i\neq 0$ ${\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)$
Painotetut projektiiviset avaruudet voidaan muodostaa käyttämällä polynomirenkaita, joissa on epästandardin muuttujan asteet. Esimerkiksi painotettu projektioavaruusvastaarenkaanjossaon astejaaste 2. $\mathbb {P} (1,1,2)$ ${\text{proj))$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ $X_{0},X_{1}$ $yksi$ $X_{2}$
Bigradoitu rengas vastaa projektiivisten tilojen tulon alakaaviota. Esimerkiksi kaksijakoinen algebra, jossa on aste ja on aste vastaa . $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$ $X_{i}$ $(1.0)$ $Y_{i}$ $(0,1)$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1))$

Muistiinpanot

↑ Ravi Vakil. Algebrallisen geometrian perusteet . — 2015. , Seuraus 15.4.3.

Kirjallisuus

Hartshorne R. Algebrallinen geometria / käänn. englannista. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elements de geometrie algebrique: II. Étude globale elementaire de quelques classes de morphismes" . Julkaisut Mathématiques de l'IHES. 8, 1961.