Minimaalinen malliohjelma

Minimaalimalliohjelma on osa algebrallisten lajikkeiden birationalluokitusta . Sen tavoitteena on rakentaa yksinkertaisin mahdollinen birationaalinen malli mistä tahansa monimutkaisesta projektitiivisesta lajikkeesta . Aihe perustuu italialaisen koulukunnan tutkimaan ja parhaillaan aktiivisesti tutkittavaan klassiseen pintojen birationaaliseen geometriaan .

Perusperiaatteet

Teorian pääajatuksena on yksinkertaistaa lajikkeiden birationaalista luokittelua etsimällä jokaisesta birationaalista ekvivalenssiluokasta lajike, joka on "mahdollisimman yksinkertainen". Tämän lauseen tarkka merkitys kehittyy itse teorian kehityksen mukana. Alunperin pinnoille tämä tarkoitti sileän muunnelman löytämistä , jolle mikä tahansa sileäpintainen birationalmorfismi [ en on isomorfismi . $X$ $f:X\rightarrow X'$ $X'$

Modernissa muotoilussa teorian tavoite on seuraava. Oletetaan, että meille annetaan projektiivinen monisto , jonka oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi olevan ei-singulaarinen. Vaihtoehtoja on kaksi: $X$

Jos sillä on Kodaira-ulottuvuus , haluamme löytää lajikkeen birationalin ja morfismin projektiiviseksi muunnelmaksi siten , että yleisen kuidun antikanonisella luokalla on runsaasti . Tällaista morfismia kutsutaan Fanon fibraatioavaruudeksi . $X$ $\kappa (X,K_{X})=-\infty$ $X^\prime$ $X$ $f:X'\rightarrow Y$ $Y$ ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime ))$ $-K_{F}$ $F$
Jos ei ole pienempi kuin 0, haluamme löytää birationalin kanonisen nef-luokan kanssa . Tässä tapauksessa on vähimmäismalli . $\kappa (X,K_{X})$ $X'$ $X$ $K_{X^{\prime ))$ $X'$ $X$

Kysymys jakoputkien ei-singulaarisuudesta ja edellä esitetty on tärkeä. Tuntuu luonnolliselta toivoa, että jos aloitamme sileällä , löydämme aina minimaalisen mallin tai Fanon kuitutilan sileiden jakotukkien kategoriasta. Tämä ei kuitenkaan ole totta, joten on tarpeen harkita yksittäisiä jakoputkia. Syntyviä singulariteetteja kutsutaan terminaalisingulaaritteiksi . $X'$ $X$ $X$

Minimaaliset pintamallit

Mikä tahansa redusoitumaton kompleksinen algebrallinen käyrä on birationaalinen ainoalle tasaiselle projektiiviselle käyrälle, joten käyrien teoria on triviaali. Italialaiset tutkivat pintatapausta ensimmäisen kerran 1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa. Castelnuovon supistuslause kuvaa olennaisesti prosessia, jolla muodostetaan minkä tahansa sileän pinnan minimimalli. Lauseen mukaan minkä tahansa ei-triviaalin birationaalisen morfismin täytyy supistaa −1-käyrä tasaiseksi pisteeksi, ja päinvastoin, mikä tahansa tällainen käyrä voidaan supistaa tasaisesti. Tässä −1-käyrä on tasainen rationaalinen käyrä C , jonka itseleikkauspiste C . C = -1. Jokaisella sellaisella käyrällä on oltava K . C = −1, mikä osoittaa, että jos kanoninen luokka on nef, pinnalla ei ole −1-käyriä. $f:X\rightarrow Y$

Castelnuovon lauseesta seuraa, että tasaiselle pinnalle minimaalisen mallin muodostamiseksi yksinkertaisesti supistamme pinnan kaikki −1-käyrät ja tuloksena oleva monisto Y on joko (ainutlaatuinen) minimaalinen malli, jolla on nef-luokka K tai hallittu pinta ( joka on sama, kuten Fano-kuidun 2-ulotteinen avaruus, ja on joko projektiivinen taso tai viivattu pinta käyrän yli). Toisessa tapauksessa X:n hallittu pinnan birational ei ole ainutlaatuinen, vaikka on olemassa ainutlaatuinen pinta, joka on isomorfinen projektiivisen suoran ja käyrän tulolle.

Minimalleja suurikokoisissa tiloissa

Mitoissa, jotka ovat suurempia kuin 2, on mukana tehokkaampi teoria. Erityisesti on sileitä lajikkeita , jotka eivät ole birationaleja millekään sileälle lajikkeelle , jolla on kanoninen nef-luokka. 1970-luvun ja 1980-luvun alun suuri käsitteellinen edistysaskel, minimaalisten mallien rakentaminen, on edelleen mahdollista mahdollisten mallien erityispiirteiden huolellisella kuvauksella. (Haluamme esimerkiksi ymmärtää, jos a on nef-luokka, joten leikkauspisteiden lukumäärä on määritettävä. Siksi ainakin monissamme on oltava Cartier-jakaja jollekin positiiviselle luvulle .) $X$ $X'$ ${\näyttötyyli K_{X'))$ $K_{X'}{\cdot }C$ ${\displaystyle nK_{X'))$ $n$

Ensimmäinen keskeinen tulos on Morin kartiolause joka kuvaa käyräkartion rakennetta . Lyhyesti sanottuna lause osoittaa, että alkaen kohdasta , voidaan induktiolla rakentaa lajikkeiden sekvenssi , joista jokainen on "lähempänä" kuin edellinen nef-luokkaa . Prosessi voi kuitenkin kohdata vaikeuksia - jossain vaiheessa jakosarjasta voi tulla "liian yksittäinen". Hypoteettinen ratkaisu tähän ongelmaan on uudelleenjärjestely , eräänlainen koodimension 2 by . Ei ole selvää, onko vaadittu uudelleenjärjestely olemassa, vai katkeaako prosessi aina (eli saavutetaan minimimalli äärellisessä määrässä vaiheita.) Maury [1] osoitti, että uudelleenjärjestelyjä on olemassa 3-ulotteisessa tapauksessa. $X$ $X$ $X_{i}$ $K_{X_{i))$ $X_{i}$ $X_{i}$ $X'$

Shokurov [2] totesi yleisempien hirsien uudelleenjärjestelyjen olemassaolon dimensiolle kolme ja neljä. Myöhemmin Birkar , Caschini, Hakon ja McKernan yleistivät tämän korkeampiin ulottuvuuksiin Shokurovin, Hakonin ja McKernanin aikaisempien töiden pohjalta . Ne aiheuttivat myös joitain muita ongelmia, mukaan lukien hirsikanonisten renkaiden yleistäminen ja vähimmäismallien olemassaolo yleisille hirsiputkistoille.

Tukkien uudelleenjärjestelyjen rikkomisen ongelma korkeampiulotteisissa tiloissa on edelleen aktiivisen tutkimuksen kohde.

Kirjallisuus

Shokurov V.V. Kolmiulotteinen hirsiperestroika // Izv. RAN. - 1992. - T. 56 , no. 1 . — S. 105–203 .
Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Minimaalisten mallien olemassaolo hirsityyppisille lajikkeille // Journal of the American Mathematical Society . - 2010. - T. 23 , no. 2 . — S. 405–468 . - doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 .
Herbert Clemens, János Kollár, Shigefumi Mori. Korkeampiulotteinen monimutkainen geometria // Asterisque. - 1988. - Numero. 166 . - S. 144 . — ISSN 0303-1179 .
Osamu Fujino. Uusia kehityskulkuja minimimallien teoriassa // Sugaku. - Mathematical Society of Japan, 2009. - V. 61 , no. 2 . — S. 162–186 . — ISSN 0039-470X .
Janos Kollar. Algebrallisen kolmiosan rakenne: johdatus Morin ohjelmaan // American Mathematical Society. Tiedote. uusi sarja. - 1987. - T. 17 , no. 2 . — S. 211–273 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15548-0 .
Janos Kollar. Algebrallisten kolmiosaisten minimimallit: Morin ohjelma // Asterisque. - 1989. - Numero. 177 . — S. 303–326 . — ISSN 0303-1179 .
Janos Kollar. Rationaaliset käyrät algebrallisilla lajikkeilla. - Berlin: Springer-Verlag, 1996. - V. 32. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3. Series. A Series of Modern Surveys matematiikassa]). — ISBN 978-3-642-08219-1 . - doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 .
János Kollár, Shigefumi Mori. Algebrallisten lajikkeiden Birational geometria. - Cambridge University Press , 1998. - V. 134. - (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 978-0-521-63277-5 .
Kenji Matsuki. Johdatus Mori-ohjelmaan. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 2002. - (Universitex). - ISBN 978-0-387-98465-0 .
Shigefumi Mori. Kääntölause ja minimaalisten mallien olemassaolo 3-kertaisille. — Journal of the American Mathematical Society . - American Mathematical Society, 1988. - V. 1. - S. 117-253. - doi : 10.2307/1990969 .
Yujiro Kawamata. Morin teoria äärimmäisistä säteistä // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .