Birational geometria

Birational geometria on algebrallisen geometrian  haara , jonka päätehtävänä on algebrallisten lajikkeiden luokittelu birationaaliseen ekvivalenssiin asti [1] . Tämä tiivistyy rationaalisten funktioiden , ei polynomien, antamien kartoitusten tutkimiseen . Kuvausta ei ehkä ole määritelty joissakin pisteissä, jotka ovat rationaalisen funktion napoja.

Birational kartoituksia

Rationaalinen kartoitus yhdestä ( redusoitumattomasta ) lajikkeesta X toiseen lajikkeeseen Y (kirjoitettu pistenuolena X ⇢ Y ) määritellään morfismina lajikkeen X ei - tyhjästä avoimesta osajoukosta U lajikkeeseen Y. Algebrallisessa geometriassa käytetyn Zariski-topologian määritelmän mukaan ei-tyhjä avoin osajoukko U on aina pienemmän ulottuvuuden osajoukon X komplementti. Konkreettisesti rationaalinen kuvaus voidaan kirjoittaa koordinaatteihin käyttämällä rationaalisia funktioita.

Birational mapitus X :stä Y : hen  on rationaalinen kuvaus f : X ⇢ Y siten, että on olemassa rationaalinen kuvaus Y ⇢ X käänteisesti f :lle . Birational kartta generoi ei-tyhjän avoimen osajoukon X isomorfismin ei - tyhjäksi avoimeksi osajoukoksi Y. Tässä tapauksessa X :n ja Y :n sanotaan olevan birationaalisesti ekvivalentteja . Algebrallisesti katsottuna kaksi kentän k muunnelmaa ovat birationaalisesti ekvivalentteja silloin ja vain, jos niiden funktiokentät ovat isomorfisia kentän k laajennuksina .

Erikoistapaus on birationaalinen morfismi f : X → Y , mikä tarkoittaa morfismia, joka on birationaalinen. Tällöin f on määritelty kaikilla X :illä , mutta sen käänteisarvo ei välttämättä ole määritelty kaikilla Y :llä . Tämä tapahtuu yleensä, kun birationaalinen morfismi kutistaa jotkin X :n alalajit pisteiksi Y :ssä .

Varimentin X sanotaan olevan rationaalinen , jos se on rationaalisesti ekvivalentti saman ulottuvuuden affiiniselle avaruudelle (tai vastaavasti projektitiiviselle avaruudelle ). Rationaalisuus on täysin luonnollinen ominaisuus - se tarkoittaa, että X ilman jotakin alemman ulottuvuuden osajoukkoa voidaan tunnistaa affiiniseen avaruuteen ilman jotakin alemman ulottuvuuden osajoukkoa. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + y 2 − 1 = 0 määritetty ympyrä on rationaalinen käyrä, koska kaavat

määrittää suoran birational-kartoituksen ympyräksi. (Jos korvaamme rationaaliluvuilla t , saamme Pythagoraan kolmoiskappaleet .) Käänteinen kartta saa ( x , y ) arvoon (1 − y )/ x .

Yleisemmin sileä neliöllinen (aste 2) hyperpinta X , jolla on mikä tahansa mitta n , on rationaalinen stereografisen projektion kannalta (neliöllisen muunnelman X kohdalla kentän k yli on oletettava, että sillä on k -rationaalinen piste Tämä pätee automaattisesti, jos k on algebrallisesti suljettu. ). Stereografisen projektion määrittämiseksi oletetaan, että p  on piste X :ssä . Sitten birationaalinen kartta X :stä projektitiiviseen avaruuteen P , jossa on n suoraa p :n kautta , saadaan kartalla X : n pisteestä q suoralle p :n ja q :n kautta . Tämä kartoitus on birationaalinen ekvivalenssi, mutta ei monikertainen isomorfismi, koska sitä ei ole määritelty arvolle q = p (eikä käänteistä kuvausta ole määritelty p :n läpi kulkeville ja X : ssä sijaitseville viivoille ).

Vähimmäismallit ja resoluutioominaisuudet

Mikä tahansa algebrallinen muunnelma on birationaalisesti ekvivalentti projektiivisen muunnelman kanssa ( Chow's lemma ). Siten birationaalista luokittelua varten riittää, että työskentelet vain projektiivisten lajikkeiden kanssa, ja tämä on yleisin oletus.

Paljon syvemmällä Hironakin singulaarisuusresoluutiolauseen [  mukaan — ominaisuuden 0 kentässä (kuten kompleksiluvut) mikä tahansa variaatio vastaa birationaalisesti tasaista projektiivista variaatiota. Tätä silmällä pitäen riittää, että luokitellaan sileät projektitiiviset lajikkeet birationaaliseen ekvivalenttiin asti.

Dimensiossa 1, jos kaksi sileää projektitiivista käyrää ovat birationaalisesti ekvivalentteja, ne ovat isomorfisia. Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa mitoissa 2 ja sitä korkeammissa räjäytysrakenteen vuoksi . Kun se räjäytetään, mikä tahansa tasainen projektiivinen muunnelma, jonka ulottuvuus on 2 tai enemmän, vastaa birationaalisesti ääretöntä määrää "suurempia" lajikkeita, kuten sellaisia, joilla on suurempi Betti-luku .

Tämä johtaa ajatukseen minimaalisista malleista  – onko jokaisessa rationaalisessa ekvivalenssiluokassa yksi yksinkertaisin lajike? Minimaalisen mallin nykyaikainen määritelmä on, että projektiivinen muunnelma X on minimaalinen , jos kanonisella viivanipulla K X on ei-negatiivinen aste missä tahansa X :n käyrässä . Toisin sanoen K X on nef-nippu . On helppo tarkistaa, että turvonneet jakoputket eivät ole koskaan vähäisiä.

Tämä idea toimii hyvin algebrallisille pinnoille (ulottuvuuden 2 lajikkeet). Nykyajan termein italialaisen algebrallisen geometrian koulukunnan vuosina 1890-1910 keskeinen tulos, osa luokittelua , oli se tosiasia, että mikä tahansa pinta X on birationaalisesti ekvivalentti joko tulon P 1  ×  C jollekin käyrälle C tai minimaaliselle pinnalle. K [2] . Nämä kaksi tapausta ovat toisensa poissulkevia ja Y on ainutlaatuinen, jos se on olemassa. Jos Y on olemassa, sitä kutsutaan X : n minimipintamalliksi .

Birational invariantit

Ensinnäkin ei ole aivan selvää, kuinka osoittaa, että ei-rationaalista algebrallista pintaa on olemassa. Tämän todistamiseksi meidän on käytettävä joitain algebrallisten lajikkeiden invariantteja.

Yksi hyödyllinen birationalinvarianttien joukko on monikkosuvut [ . Sileän monisarjan X , jonka koko on n , kanoninen nippu [ n -muotojen K X = Ω n viivakimppu [en], joka on jakosarjan X kanonisen nipun n:s ulkopotenssi . Kokonaisluvulle d K X : n d:s tensoriteho on jälleen rivinippu . Kun d ≥ 0, globaalien osien H 0 ( X , K X d ) vektoriavaruudella on se merkittävä ominaisuus, että birationaalinen kartoitus f : X ⇢ Y tasaisten projektiivisten lajikkeiden välillä generoi isomorfismin H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ) [3] .

Kun d ≥ 0, määritämme d : nnen plurirodin P d vektoriavaruuden H 0 ( X , K X d ) dimensioksi. Sitten plurigeenit ovat tasaisten projektiivisten lajikkeiden birationaalisia invariantteja. Erityisesti, jos jokin plurirod P d ei ole yhtä suuri kuin nolla , kun d > 0, niin X ei ole rationaalinen muunnelma.

Perusbinationaalinen invariantti on Kodaira-ulottuvuus , joka mittaa monien P d as d kasvua äärettömyyteen. Kodaira-ulottuvuus jakaa kaikki n -mitan lajikkeet n + 2 -tyyppeihin, joiden Kodaira-mitat ovat −∞, 0, 1, …, n . Tämä invariantti osoittaa monimutkaisen kompleksisuuden, kun taas projektitiivisella avaruudella on Kodaira-ulottuvuus −∞. Monimutkaisimmat jakoputket ovat ne, joiden Kodaira-mitta on sama kuin avaruusulottuvuus n , ja näitä jakoputkia kutsutaan yleistyyppisiksi jakoputkiksi .

Yleisemmin sanottuna mikä tahansa luonnollinen suora summa E (Ω 1 ) kotangentin lyhenteen Ω 1 r:nnestä tensoritehosta, kun r ≥ 0, globaalien osien H 0 ( X , E (Ω 1 )) vektoriavaruus on birationaalinen invariantti sileät projektiiviset lajikkeet. Erityisesti Hodge-luvut h r ,0 = dim H 0 ( X , Ω r ) ovat X :n birationaalisia invariantteja . (Useimmat muut Hodge-luvut h p, q eivät ole birationaalisia invariantteja, kuten räjäytys osoittaa .)

Perusryhmä π 1 ( X ) on tasaisten kompleksisten projektiivisten lajikkeiden birationaalinen invariantti.

Abramovitšin, Karun, Matsukin ja Wlodarczykin [4] todistama "heikon tekijöiden jakamisen teoreema" väittää, että mikä tahansa birationaalinen kartoitus kahden tasaisen kompleksisen projektiivisen muunnelman välillä voidaan hajottaa rajalliseksi määräksi tasaisten alalajikkeiden puhalluksia tai puhalluksia. Tämä on tärkeää tietää, mutta on edelleen vaikea tehtävä määrittää, ovatko kaksi tasaista projektiivista lajiketta birationaalisesti samanarvoisia.

Minimalleja suurissa mitoissa

Projektiivista variaatiota X kutsutaan minimaaliksi , jos kanoninen nippu K X on nef-nippu . Mitta 2 : lle X riittää, että huomioidaan sileät jakoputket. Dimensioissa 3 ja sitä suuremmissa vähimmäislajikkeilla on oltava joitain heikkoja singulariteetteja, joiden osalta K X pysyy hyvin käyttäytyvänä. Niitä kutsutaan terminaaliominaisuuksiksi .

Minimimallin arvelun pätevyys merkitsisi kuitenkin sitä, että mikä tahansa lajike X on joko rationaalisten käyrien peitossa tai se on birationaalisesti ekvivalentti minimaalisen lajikkeen Y kanssa . Jos se on olemassa, Y :tä kutsutaan X : n minimimalliksi .

Minimimallit eivät ole ainutlaatuisia dimensioissa 3 ja ylöspäin, mutta mitkä tahansa kaksi minimaalista birationalia ovat hyvin lähellä toisiaan. Ne ovat esimerkiksi isomorfisia koodiulottuvuuden 2 ja uudemman ulkopuolisia alajoukkoja, ja tarkemmin sanottuna ne on yhdistetty käännössekvenssillä . Joten minimimallin arvelu antaisi olennaista tietoa algebrallisten lajikkeiden birational luokittelusta.

Mori todisti oletuksen dimensiolle 3 [5] . Korkeammissa ulottuvuuksissa on edistytty paljon, vaikka pääongelma jää avoimeksi. Erityisesti Birkar, Cassini, Hakon ja McKernan [6] osoittivat, että millä tahansa yleisen tyypin lajikkeella ominaisuuden 0 kentässä on minimaalinen malli.

Yksilinjaiset jakotukit

Jakoputkistoa kutsutaan linjaamattomaksi , jos se on rationaalisten käyrien peitossa. Epälineaarisella lajikkeella ei ole minimimallia, mutta sille on hyvä korvike - Birkar, Cassini, Hakon ja McKernan osoittivat, että mikä tahansa vuoraamaton lajike pellon päällä, jolla on tyypillinen nolla, on birational Fano -fibraatio [7] . Tämä johtaa Fano-fibraatioiden ja (mielenkiintoisimpana tapauksena) Fano-lajikkeiden birational luokittelun ongelmaan . Määritelmän mukaan projektiivinen lajike X on Fanon lajike , jos antikanoninen nippu K X * on riittävä . Fano-lajikkeita voidaan pitää lähimpänä projektiivisia tiloja.

Dimensiossa 2 mikä tahansa Fanon kolminkertainen (tunnetaan nimellä del Pezzo-pinta ) algebrallisesti suljetun kentän yli on rationaalinen. 1970-luvun tärkein löytö oli, että ulottuvuudesta 3 alkaen on monia Fano-lajikkeita, jotka eivät ole järkeviä . Erityisesti sileät kuutioiset 3-kertaiset Clemensin ja Griffithin [8] mukaan eivät ole rationaalisia, ja neljännen asteen sileät 3-kertaiset eivät ole järkeviä Iskovskikhin ja Maninin [9] mukaan . Silti tehtävää määrittää tarkasti, mitkä Fano-lajikkeet ovat järkeviä, ei ole kaukana ratkaistu. Esimerkiksi ei tiedetä, onko P n +1 :ssä olemassa epärationaalista sileää kuutiometristä hyperpintaa, jossa n ≥ 4.

Birational automorfismien ryhmät

Algebralliset lajikkeet eroavat huomattavasti birationaalisten automorfismiensa lukumäärästä. Mikä tahansa yleistyypin muunnelma on erittäin jäykkä siinä mielessä, että sen birational automorfismiryhmä on äärellinen. Toisessa ääripäässä projektiivisen avaruuden P n birationaalisten automorfismien ryhmä kentän k yli , joka tunnetaan nimellä Cremona-ryhmä Cr n ( k ), on suuri (ääretön ulottuvuus) arvolla n ≥ 2. Kun n = 2, kompleksinen Cremona-ryhmä Cr 2 ( C ) syntyy "neliömuutoksella"

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

yhdessä P2:n automorfismiryhmän PGL ( 3 , C ) kanssa Max Noetherin ja Guido Castelnuovon mukaan . Sitä vastoin Cremona-ryhmä dimensiossa n ≥ 3 on hyvin salaperäinen, eikä sille tunneta mitään nimenomaista generaattorijoukkoa.

Iskovskikh ja Manin [9] osoittivat, että 3-monijoukon neljännen asteen sileiden hyperpintojen (kvartiksien) birationaalisten automorfismien ryhmä on yhtä suuri kuin sen automorfismiryhmä, joka on äärellinen. Tässä mielessä neljännen asteen kolmiulotteiset muunnelmat eivät ole kaukana rationaalisista, koska rationaalisen muunnelman [en] biraalisten automorfismien ryhmä on . Tämä "birational jäykkyyden" ilmiö on sittemmin löydetty monista kuituisista Fano-tiloista.

Muistiinpanot

  1. ↑ Dolgachev, Iskovskikh, 1977 , s. 463.
  2. ↑ Kollár, Mori, 1998 , s. Lause 1.29.
  3. ↑ Hartshorne, 1977 , s. Harjoitus II.8.8.
  4. ↑ Abramovitš, Karu, Matsuki, Wlodarczyk, 2002 .
  5. ↑ Mori, 1988 .
  6. ↑ Birkar, Cascini, Hacon, McKernan, 2010 .
  7. ↑ ( Birkar, Cascini, Hacon, McKernan 2010 ); Johtopäätös 1.3.3 viittaa siihen, että mikä tahansa vuoraamaton lajike, jolla on tunnusomainen nolla, on birationaalinen Fano-kuitulle, kun käytetään sitä yksinkertaista tosiasiaa, että vuoraamaton lajike X on peitetty käyräperheellä, jonka K X :llä on negatiivinen aste. Tämä lausunto löytyy Debarren kirjasta ( Debarre 2001 ), seuraus 4.11 ja esimerkki 4.7(1).
  8. ↑ Clemens, Griffiths, 1972 .
  9. ↑ 1 2 Iskovskikh, Manin, 1971 , s. 140-166.

Kirjallisuus