Segre kiinnitys

Segre - upotusta käytetään projektiivisessa geometriassa kahden projektiivisen tilan suoratulon käsittelemiseen projektiivisena monikanavana . Nimetty italialaisen matemaatikon Beniamino Segren mukaan [1] .

Määritelmä

Segre-kartoitus määritellään kartoitukseksi

\sigma :P^{n}\kertaa P^{m}\to P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

joka lähettää järjestetyn pisteparin pisteeseen, jonka homogeeniset koordinaatit ovat alkuperäisten pisteiden homogeenisten koordinaattien paritulot (kirjoitettu leksikografisessa järjestyksessä ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

Tämän kartoituksen kuva on projektiivinen lajike, jota kutsutaan Segre-variantiksi .

Kuvaus lineaarialgebran kielellä

Tensoritulon universaalin ominaisuuden mukaan vektoriavaruuksille U ja V ( saman kentän k yli ) on luonnollinen kartoitus niiden karteesisesta tulosta tensorituloon :

\varphi :U\times V\to U\otimes V.\

Yleensä tämä kartoitus ei ole injektiivinen , koska mille tahansa , ja ei-nollalle $olet U:ssa$ $v\in V$ $c\in k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

Kartoitus indusoi vastaavien lineaariavaruuksien projektivisaatioiden morfismin: $\varphi$

\sigma :P(U)\kertaa P(V)\to P(U\otimes V).\

Tämä morfismi ei ole vain injektiivinen kartoitus joukkoteorian merkityksessä , se on myös suljettu upotus algebrallisen geometrian merkityksessä (tämä tarkoittaa, että kuvauksen kuva voidaan antaa järjestelmän nollien joukkona polynomiyhtälöistä). Tämä selittää syyt, miksi tätä kartoitusta kutsutaan Segre-upotukseksi .

Vastaavien tilojen mitat on helppo laskea: jos silloin ja koska projektivisointi pienentää mitat yhdellä, tämä tapaus vastaa kartoitusta ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\kertaa {\mathbb P}^{m}\to {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Ominaisuudet

Jos merkitsemme Segren upotuksen kuvan homogeeniset koordinaatit muodossa ja kirjoitamme ne matriisiksi , niin Segre-monisto sisältää täsmälleen 1. sijan ”matriiseja” , eli matriiseja, joissa kaikki kooltaan nollat. Siten Segre-monisto määritellään muodon yhtälöiden yhteisten nollien joukoksi $z_{{ij}}$ $2 kertaa 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

missä

i\neq k,j\neq l.

Segre-sarjan kuidut (eli muodon tai kiinteän pisteen joukot ) ovat kuvan lineaarisia aliavaruuksia . $\sigma (\cdot ,p)$ $\sigma (p,\cdot )$ $s$

Esimerkkejä

Quadric

Tapauksessa n = m = 1, Segre-kuvaus on projektiivisen suoran ja itsensä tulon upottaminen kolmiulotteiseen projektioavaruuteen. Homogeenisissa koordinaateissa tämän kuvauksen kuva on algebrallisen yhtälön ratkaisujen joukko

\det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

Siten kompleksisessa projektitiivisessa avaruudessa Segre-variantti on tavallinen neliö , jossa ei ole singulariteettia. Todellisessa projektitiivisessa avaruudessa tämä on allekirjoituksen neliö affiineilla koordinaatteilla; se vastaa yksiarkkista hyperboloidia ja hyperbolista paraboloidia . Molemmat neliöt ovat esimerkkejä viivatuista pinnoista . $(2.2),$

Veronese-lajike

Diagonaalin kuva Segre-kartoituksen alla on toisen asteen veronelainen muunnelma : $\Delta \osajoukko P^{n}\kertaa P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\to P^{{n^{2}+2n}}.\

Muistiinpanot

↑ Segre embedding // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Kirjallisuus

Harris J. Algebrallinen geometria. Alkukurssi. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Johdatus algebralliseen geometriaan, sivu 154, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .