Yhtenäinen säde

Koherentit pyörät ovat pyörää , joka liittyy läheisesti kantotilan geometrisiin ominaisuuksiin. Koherentin nippun määritelmässä käytetään renkaiden nippua , joka tallentaa tämän geometrisen tiedon.

Koherentit pyörät voidaan nähdä vektorinippujen yleistyksenä . Toisin kuin vektoriniput, ne muodostavat Abelin luokan ja ovat siksi suljettuja toimintojen, kuten ytimien , kokernelien ja kuvien ottamisessa. Kvasikoherentit vyöt ovat yleistys koherenteista pyöristä, jotka sisältävät äärettömän luokan vektorinippuja.

Koherenttien pyöreiden kohomologia on tehokas tekniikka, jota käytetään erityisesti koherenttien pyörien poikkileikkausten tutkimiseen.

Määritelmät

Kvasikoherentti nippu rengasavaruudessa ( X , O X ) on O X -moduulien F nippu, joka on paikallisesti esitettävissä, eli jokaisella pisteellä X on avoin ympäristö U , jolle on olemassa tarkka sekvenssi .

{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\ kohteeseen {\mathcal {F}}|_{U}\to 0

joillekin joukoille I ja J (mahdollisesti ääretön).

Koherentti nippu rengastilassa ( X , O X ) on kvasikoherentti nippu F , joka täyttää seuraavat kaksi ehtoa:

äärellisen tyyppinen nippu F yli O X , eli millä tahansa pisteellä X on avoin ympäristö U siten, että on olemassa surjektiivinen morfismi On
X| U → F | U jollekin luonnolliselle n :lle ;
mille tahansa avoimelle joukolle U ⊂ X , mikä tahansa luonnollinen n ja mikä tahansa morfismi O X -moduuli φ: On
X| U → F | U , äärellisen tyyppinen ydin φ.

Morfismit (quasi)koherenttien pyöreiden välillä ovat samat kuin O X -moduulien morfismit .

Ominaisuudet

Mielivaltaisessa rengasavaruudessa kvasikoherentit vyöt eivät muodosta Abelin luokkaa. Kuitenkin kvasikoherentit pyörät minkä tahansa kaavion päällä muodostavat Abelin luokan, ja ne ovat erittäin hyödyllisiä tässä yhteydessä. [yksi]

Koherentit pyörät mielivaltaisessa rengastilassa muodostavat Abelin kategorian, täydellisen luokan O X -moduulien alakategorian.

Koherentin lyhden alimoduuli on koherentti, jos se on äärellistä tyyppiä. Koherentti nippu on aina äärellisesti esitetty O X -moduuli siinä mielessä, että millä tahansa pisteellä X on avoin ympäristö U siten, että rajoite F | U :n lyhteen F U on isomorfinen morfismin O X n kokerin kanssa | U → O X m | U luonnolliselle n :lle ja m :lle . Jos O X on koherentti, niin päinvastoin mikä tahansa äärellisesti esitetty O X -moduuli on koherentti.

Rengasnippua O X kutsutaan koherentiksi, jos se on koherentti moduulina itsensä yli. Erityisesti Okan koherenssilauseessa sanotaan, että holomorfisten funktioiden nippu kompleksisessa analyyttisessä avaruudessa X on koherentti. Vastaavasti paikallisesti Noether-kaaviossa X rakennelyhde O X on koherentti. [2]

Koherenttien palkkien paikallinen käyttäytyminen

Koherenttien säteiden tärkeä ominaisuus on, että koherentin säteen ominaisuudet pisteessä ohjaavat sen käyttäytymistä kyseisen pisteen läheisyydessä. Esimerkiksi Nakayaman lemma (geometrisesti) sanoo, että jos F on koherentti nippu kaaviossa X , niin sen kuitu, tensori-kerrotettuna jäännöskentällä F p ⊗ O X , p k ( p ) kohdassa p (vektori ) avaruus jäännöskentän k ( p )) yli on nolla silloin ja vain, jos F on nolla jossain p :n avoimessa ympäristössä . Tähän liittyvä tosiasia on, että koherentin säteen kerrosten mitta on ylempi puolijatkuva . [3] Siten koherentilla nipulla on vakioarvo avoimessa osajoukossa, kun taas suljetussa osajoukossa arvo voi hypätä.

Samaan tapaan: Koherentti nippu F kaaviossa X on vektorinippu silloin ja vain jos sen kuitu F p on vapaa moduuli paikallisen renkaan O X , p minkä tahansa pisteen p kohdalla X :ssä . [neljä]

Yleisellä kaaviolla on mahdotonta määrittää, onko koherentti nippu vektorinippu kuiduistaan tensori-kerrotettuna jäännöskentillä. Kuitenkin annetussa paikallisesti Noether-kaaviossa koherentti nippu on vektorinippu silloin ja vain, jos sen arvo on paikallisesti vakio. [5]

Koherenttien lyhteiden kohomologia

Koherenttien pyöreiden kohomologiateoria on yksi algebrallisen geometrian tärkeimmistä teknisistä työkaluista. Vaikka se ilmestyi vasta 1950-luvulla, monet aiemmat algebrallisen geometrian tulokset on muotoiltu selvemmin koherentteihin lyhteisiin sovelletun nivelkohomologian kielellä. Karkeasti sanottuna koherenttien pyöreiden kohomologiaa voidaan pitää työkaluna funktioiden rakentamiseen tietyillä ominaisuuksilla; linjanippujen osia tai yleisempiä nippuja voidaan pitää yleisinä funktioina. Monimutkaisessa analyyttisessä geometriassa koherenttien pyöreiden koherentioilla on myös tärkeä rooli.

Kadonneet lauseet affiinisessa tapauksessa

Vuonna 1953 todistetut Cartanin lauseet A ja B mullistavat monimutkaisen analyysin . Nämä tulokset sanovat, että jos E on koherentti analyyttinen nippu Stein-avaruudessa X , niin E generoidaan sen globaaleilla osilla, ja H i ( X , E ) = 0 kaikille i > 0. (Kompleksiavaruus X on Stein-avaruus, jos ja vain jos se on isomorfinen suljetun analyyttisen aliavaruuden C n kanssa jollekin n :lle .) Nämä tulokset yleistävät suuren aiemman työn monimutkaisten analyyttisten funktioiden konstruoimiseksi tietyillä singulaarisuuksilla tai muilla ominaisuuksilla.

Vuonna 1955 Serre otti koherentit pyörät algebralliseen geometriaan (alun perin algebrallisesti suljetun kentän päälle , mutta Grothendieck poisti tämän rajoituksen ). Cartanin teoreemojen analogit ovat totta suurella yleisellä tasolla: jos E on kvasikoherentti nippu affiinilla skeemalla X , niin E generoidaan sen globaaleilla osilla ja H i ( X , E ) = 0 kun i > 0. [6 ] Tämä johtuu siitä, että kvasikoherenttien pyörän luokka affiinikaaviossa X vastaa O ( X ) -moduulien luokkaa : ekvivalenssi vie nivelen E O ( X ) -moduuliin H 0 ( X , E ).

Cech-kohomologia ja projektiivinen avaruuskohomologia

Affiinisten kaavioiden kohomologian häviämisen seurauksena erotettavissa olevalle skeemalle X, kaavion X affiiniselle avoimelle kannelle { U i } ja kvasikoherentille nivelelle E X : ssä , kohomologiaryhmät H *( X , E ) ovat isomorfisia Cech-kohomologiaryhmille avoimen kannen { U i } suhteen. [6] Toisin sanoen X : n kohomologian laskemiseksi kertoimilla E :ssä riittää, että tunnetaan E:n osat avoimien affiinisten osajoukkojen Ui äärellisissä leikkauspisteissä .

Käyttämällä Cech-kohomologiaa voidaan laskea projektiivisen avaruuden kohomologia kertoimilla missä tahansa viivanipussa. Nimittäin kentällä k , luonnolliselle luvulle n ja kokonaisluvulle j on projektiivisen avaruuden P n kohomologiat yli k kertoimilla rivinipussa O ( j ) seuraavasti: [7]

H^{i}(\mathbf {P} ^{n},O(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0}\geq 0,\ldots ,a_{n }\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdots x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n} }&{\text{if }}i=0\\0&{\text{if }}i\neq 0{\text{ ja }}i\neq n\\\bigoplus _{a_{0}<0, \ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdots x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^ {a_{n}}&{\text{if }}i=n.\end{cases}}

Tämä laskelma osoittaa erityisesti, että projektiivisen avaruuden kohomologia yli k :n kertoimilla missä tahansa viivanipussa on äärellisulotteinen vektoriavaruuksina k yli .

Näiden kohomologiaryhmien katoaminen dimensioissa n: n yläpuolella on Grothendieckin katoamislauseen erityinen tapaus : mille tahansa Abelin ryhmien E nivelelle Noetherin topologisessa avaruudessa X , jonka ulottuvuus on n < ∞, meillä on H i ( X , E ) = 0 kaikille i > n . [8] Tämä tulos on erityisen hyödyllinen, kun X on Noether-skeema (esimerkiksi algebrallinen muunnelma kentän päällä) ja E on koherentti nippu.

Äärillisulotteinen kohomologia

Oikealle skeemalle X kentän k yli ja koherentille nivelelle E kentällä X Kohomologiaryhmät H i ( X , E ) ovat äärellisulotteisia vektoriavaruuksina k yli . [9] Erityistapauksessa, kun X on projektiivinen yli k :n, tämä todistetaan pelkistämällä viivanippujen tapaukseksi edellä tarkasteltavassa projektiivitilassa. Yleinen tapaus asianmukaisesta kaaviosta kentän yli todistetaan pelkistämällä projektitiiviseksi tapaukseksi Zhou-lemman avulla .

Kohomologian äärellinen ulottuvuus pätee myös koherenteille analyyttisille pyöreille kompaktissa kompleksisessa tilassa. Cartan ja Serre osoittivat äärellisulotteisuuden tässä analyyttisessä tilanteessa käyttämällä Schwarzin lausetta kompakteista operaattoreista Fréchet -avaruudessa .

Kohomologian äärellinen ulottuvuus antaa meille mahdollisuuden saada monia mielenkiintoisia projektiivisten lajikkeiden invariantteja. Esimerkiksi, jos X on ei- singulaarinen projektiokäyrä algebrallisesti taitetun kentän k yli , niin X :n suku määritellään vektoriavaruuden H1 ( X , OX ) dimensioksi . Jos k on kompleksilukujen kenttä, se osuu yhteen kompleksipisteiden avaruuden X ( C ) kanssa klassisessa (euklidisessa) topologiassa. (Tässä tapauksessa X ( C ) = X an on suljettu pinta .)

Serra kaksinaisuus

Serren kaksinaisuus on Poincarén kaksinaisuuden analogi koherenttien lyhteiden kohomologialle. Tasaiselle ominaiskaaviolle X , jonka ulottuvuus on n kentän k yli , on olemassa luonnollinen jäljityskartta H n ( X , K X ) → k . Serren kaksinaisuus vektorinipulle E X :ssä sanoo, että pariliitos

H^{i}(X,E)\times H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X}) \to k

on täydellinen pariliitos mille tahansa kokonaisluvulle i . [10] Erityisesti vektoriavaruuksilla H i ( X , E ) ja H n − i ( X , K X ⊗ E *) on sama ulottuvuus. (Serre osoitti myös Serren kaksinaisuuden holomorfisille vektorinipuille kompaktissa kompleksijoukossa.) Grothendieckin kaksinaisuusteoria sisältää yleistyksiä mielivaltaiseen koherenttiin nippuun ja mielivaltaiseen kaavioiden ominaismorfismiin, mutta väitteistä tulee vähemmän alkeellisia.

Esimerkiksi ei-singulaariselle projektiiviselle käyrälle X algebrallisesti suljetun kentän k yli Serren dualiteetti väittää, että 1-muotojen avaruuden ulottuvuus kohdassa X H 0 ( X , Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) on sama kuin X -suku ( ulottuvuuden H1 ( X , O )).

GAGA-lauseet

GAGA-lauseet yhdistävät monimutkaisia algebrallisia variaatioita vastaaviin analyyttisiin avaruuteen. Kaavalle X , jonka tyyppi on äärellinen C yli , on olemassa funktori koherenteista algebrallisista pyöristä X :llä koherenttisiin analyyttisiin pyöriin vastaavassa analyyttisessä avaruudessa X an . GAGA-peruslause sanoo, että jos X on oikea yli C , niin tämä funtori on kategoriaekvivalenssi. Lisäksi mille tahansa koherentille algebralliselle nivelle E oikealla kaaviolla X yli C , luonnollinen kartoitus

H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\teksti{an)),E)

on isomorfismi kaikille i :lle . [11] (Ensimmäinen ryhmä määritellään Zariskin topologian avulla ja toinen ryhmä klassisen (euklidisen) topologian avulla.) Erityisesti analyyttisten ja algebrallisten koherenttien pyöreiden välinen ekvivalenssi projektitiivisessa avaruudessa merkitsee Chou-lausetta, että mikä tahansa CP n :n suljettu analyyttinen aliavaruus on algebrallinen.

Kadonneet lauseet

Serren katoamislause sanoo, että jokaiselle runsaalle viivanipulle L oikealla skeemalla X Noetherin renkaan päällä ja mille tahansa koherentille nipulle F X : ssä on olemassa kokonaisluku m 0 siten, että kaikilla m ≥ m 0 :lla nippu F ⊗ L ⊗ m on generoitu globaaleilla osilla, eikä sillä ole korkeampaa kohemologiaa. [12]

Vaikka Serren katoava lause on hyödyllinen, luvun m 0 tuntematta jättäminen voi olla ongelma. Kodairan katoava lause on tärkeä eksplisiittinen tulos. Nimittäin, jos X on tasainen projektiivinen muunnelma ominaisuuden 0 kentässä, L on runsas rivinippu X :llä ja K X on kanoninen nippu , niin

H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0

Kaikille j > 0. Huomaa, että Serren lause takaa saman häviämisen L :n suurille tehoille . Kodairan katoava lause ja sen yleistykset ovat perustavanlaatuisia algebrallisten lajikkeiden luokittelussa ja minimimallien ohjelmassa . Kodairan katoava lause ei päde positiivisten ominaisuuksien kenttiin. [13]

Muistiinpanot

↑ Stacks Project, Tag 01LA Arkistoitu 3. syyskuuta 2017 Wayback Machinessa .
↑ Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
↑ Hartshorne (1981), esimerkki III.12.7.2.
↑ Grothendieck, EGA I, Ch. 0, 5.2.7.
↑ Eisenbud (1995), Harjoitus 20.13.
↑ 1 2 Stacks Project, Tag 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Arkistoitu 3. syyskuuta 2017 Wayback Machinessa .
↑ Hartshorne (1981), Lause III.5.1.
↑ Hartshorne (1977), Lause III.2.7.
↑ Stacks Project, Tag 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Arkistoitu 23. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa .
↑ Hartshorne (1981), Lause III.7.6.
↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
↑ Hartshorne (1981), Lause II.5.17 ja Lause III.5.3.
↑ Michel Raynaud . Contre-esimerkki tai katoava lause ja ominaisuus p > 0 . CP Ramanujam - kunnianosoitus , Tata Inst . rahoittaa. Res. Matematiikan opintoja. 8, Berliini, New York: Springer-Verlag, (1978), s. 273-278.

Kirjallisuus

R. Hartshorne. Algebrallinen geometria / käännös. englannista. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.
David Eisenbud. Kommutatiivinen algebra näköalalla kohti algebrallista geometriaa. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94268-1 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elements de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Julkaisut Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.