Hilbertin nollalause

Hilbertin nollalause ( Hilbertin juurilause , monilla kielillä, myös joskus venäjäksi, käyttää usein alkuperäistä saksalaista nimeä Nullstellensatz , joka käännetään "nollalauseeksi") on lause , joka muodostaa perustavanlaatuisen suhteen geometrian ja algebran välille . Tämän suhteen käyttö on algebrallisen geometrian perusta .

Tämä lause yhdistää algebrallisen joukon käsitteen ideaalin käsitteestä polynomirenkaassa algebrallisesti suljetun kentän yli . Ensimmäiseksi todisti David Hilbert ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) ja nimettiin hänen mukaansa.

Sanamuoto

Antaa olla mielivaltainen kenttä (esimerkiksi rationaalisten lukujen kenttä ), olla tämän kentän algebrallisesti suljettu laajennus (esimerkiksi kompleksilukujen kenttä ). Harkitse polynomirengasta muuttujissa, joiden kertoimet kentässä , Olkoon ihanteellinen tässä renkaassa. Tämän ihanteen määrittelemä algebrallinen joukko koostuu kaikista pisteistä siten, että mille tahansa . Hilbertin nollalause sanoo, että jos jokin polynomi katoaa joukosta , eli jos kaikille , niin on olemassa luonnollinen luku siten, että . $k$ $K$ $K[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $n$ $K$ $minä$ ${\hbox{V}}(I)$ $x=(x_{1},\pisteet ,x_{n})\in K^{n}$ $f(x) = 0$ $f\in I$ $p\in k[x_{1},\pisteet ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x) = 0$ $x\in V(I)$ $r$ $p^{r}\in I$

Välitön seuraus on seuraava "Hilbertin nollalauseen heikko muoto": jos on varsinainen ideaali renkaassa , niin se ei voi olla tyhjä joukko , eli kaikille annetun ideaalin polynomeille on yhteinen nolla (tosin, muuten polynomin juuret ovat kaikkialla , joten sen aste kuuluu ). Tämä seikka antoi lauseelle nimen. Yleinen tapaus voidaan päätellä "heikosta muodosta" käyttämällä niin kutsuttua Rabinowitzin temppua . Oletus, että kenttä on algebrallisesti suljettu, on olennainen: oikean ihanteen elementeillä ei ole yhteistä nollaa. $minä$ $K[x_{1},\pisteet ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=1$ ${\hbox{V}}(I)$ $minä$ $K$ $(x^{2}+1)$ ${\mathbb R}[x]$

Kommutatiivisen algebran standarditerminologiaa käyttäen Hilbertin nollalause voidaan ilmaista seuraavasti: jokaiselle ihanteelle kaava $J$

{\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}

missä on ideaalin radikaali , ja on ideaalin, joka koostuu kaikista polynomeista, jotka ovat yhtä suuria kuin nolla joukossa . ${\sqrt {J}}$ $J$ ${\hbox{I}}(U)$ $U$

Tästä seuraa, että operaatiot ja määrittelevät bijektiivisen järjestyksen kääntävän vastaavuuden algebrallisten joukkojen ja radikaalien ihanteiden välillä . ${\hbox{I}}$ ${\hbox{V}}$ $K^n$ $K[x_{1},\ldots,x_{n}]$

Projektiivinen versio Nullstellensatzista

Myös polynomirenkaan homogeenisten ideaalien ja projektitiivisen avaruuden algebrallisten joukkojen välillä on vastaavuus , jota kutsutaan projektiiviseksi Nullstellensatziksi . Olkoon , on joukko homogeenisia astepolynomeja . Sitten $R=K[x_{1},\pisteet ,x_{n}]$ $R_{d}$ $d$

R_{+}=\bigoplus _{{d\geq 1}}R_{d}

kutsutaan maksimaaliseksi homogeeniseksi ihanteeksi . Kuten affinisessa tapauksessa, otamme käyttöön merkinnän: osajoukolle ja homogeeniselle ihanteelle olkoon $S\subseteq {\mathbb {P}}^{n}$ $minä$

{\begin{aligned}\operaattorinimi {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\; \forall x\in S\},\\\operaattorin nimi {V}_{({\mathbb {P}}^{n}}}(I)&=\{x\in {\mathbb {P}}^ {n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}

Muista, että tämä ei ole funktio projektiivisessa avaruudessa, mutta tämän polynomin homogeenisuudesta seuraa, että pisteiden joukko, joilla on homogeeniset koordinaatit , jossa , on hyvin määritelty. Nyt mielivaltaisen homogeenisen ihanteen puolesta, $f$ $x$ $f(x) = 0$ $I\in R_{+}$

{\sqrt {I}}=\operaattorin nimi {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(\operaattorin nimi {V}_{({\mathbb {P}}^{n}} }(I)).

Kirjallisuus

Atiyah M. , McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M: Mir, 1972
Van der Waerden B. L. Algebra. - M.: Nauka, 1976.
Prasolov VV:n polynomit. - M.: MTSNMO , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
Hartshorne R. Algebrallinen geometria. - M.: Mir, 1970
Leng S. Algebra. - M.: Mir, 1968

Katso myös

David Hilbertin panos tieteeseen
tilat	Hilbertin avaruus Pre-Hilbertin tila Gilbert tiili
aksiomatiikka	Hilbertin aksiomaattinen
Lauseet	Hilbertin lause 90 Hilbertin peruslause Hilbertin nollalause Hilbert-Schmidtin lause
Operaattorit	Hilbertin muunnos Hilbert-Schmidt operaattori
Yleinen suhteellisuusteoria	Einstein-Hilbertin yhtälöt " Hilbert ja gravitaatiokenttäyhtälöt "
Muut	Hilbertin ongelmia Hilbertin käyrä Hilbertin matriisi Hilbert-Arnoldin ongelma Hilbert-sarja ja Hilbert-polynomi Paradoksi "Grand Hotel"