Hilbert-Arnoldin ongelma

Hilbert-Arnoldin ongelma dynaamisten järjestelmien teoriassa kuuluu rajasyklien lukumäärän estimointiin liittyvien ongelmien luokkaan . On todistettava, että tyypillisessä äärellisparametriisessa tasaisten vektorikenttien perheessä pallolla , jolla on kompakti parametripohja, rajajaksojen lukumäärä on tasaisesti rajoitettu parametrin kaikkien arvojen yli. Tämä ongelma liittyy historiallisesti Hilbertin 16. ongelmaan . Tällä hetkellä (2009) Hilbert- Arnold -ongelmasta on ratkaistu vain muutama yksinkertaistettu versio .

Matemaattinen konteksti ja ongelman kuvaus

Muista yksi Hilbertin 16. tehtävän muunnelmista. Tarkastellaan polynomisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmää tasossa

{\begin{cases}{\dot x}=P_{n}(x,y),\\{\piste y}=Q_{n}(x,y),\end{cases))\quad (x) ,y)\in {\mathbb R}^{2},

(*)

missä ja ovat korkeintaan astepolynomeja . $P_{n}$ $Q_{n}$ $n$

Tehtävä (Hilbertin eksistentiaalinen ongelma). Todista, että jokaiselle on olemassa sellainen luku , että millä tahansa muotoa (*) olevilla järjestelmillä on korkeintaan rajajaksoja.

n\in \mathbb {N}

H(n)<\infty

H n)

Lukuja kutsutaan rajajaksojen Hilbert-luvuiksi . $H n)$

Seuraavaksi meidän on kätevää siirtyä kompaktiin vaihetilaan ja kompaktiin parametripohjaan. Tätä varten käytämme Poincarén tiivistämisenä tunnettua temppua . Laajentamalla tason polynomivektorikenttä projektiivisen tason analyyttiseksi suuntakenttään tiivistetään parametrikanta, ja sitten käyttämällä pallon keskiprojektiota projektiiviseen tasoon saadaan analyyttinen suuntakenttä pallolle ( a äärellinen määrä yksittäisiä pisteitä). Siten pallon kaikkien analyyttisten suuntakenttien avaruudessa erotetaan äärellisparametrinen kenttäperhe, jolla on kompakti parametrikanta, joka on generoitu tietyn asteen polynomijärjestelmillä. Tässä tapauksessa Hilbertin eksistentiaaliongelmasta tulee seuraavan (vahvemman) hypoteesin erikoistapaus:

Ongelma (globaalin äärellisyyden ongelma). Missä tahansa äärellisparametrisessa analyyttisessä analyyttisten vektorikenttien perheessä pallolla, jolla on kompakti parametrikanta, rajajaksojen lukumäärä on tasaisesti rajoitettu kaikille parametrin arvoille .

B

\varepsilon \in B

Polynomivektorikentät ovat luonnollinen esimerkki äärellisestä parametriperheestä, ja Hilbertin 16. ongelman aikaan tämä oli luultavasti ainoa lajissaan tunnettu eksplisiittinen perhe. Lähestymistavat kuitenkin muuttuivat ajan myötä, ja matemaatikot alkoivat kiinnittää kysymykset, jotka eivät koskien tiettyä perhettä, vaan tietyn luokan tyypillisten perheiden ominaisuuksia. Katsauksen [ AAIS ] (1986) työskentelyn aikana V. I. Arnold ehdotti sileiden vektorikenttien äärellisten parametrien perheiden tarkastelua ja muotoili useita olettamuksia tästä aiheesta.

Mitä merkityksellisiä kysymyksiä voidaan esittää rajajaksoista tyypillisissä äärellisten parametrien perheissä? Ilmeisesti Hilbertin 16. ongelman suorassa analogissa ei ole tässä tapauksessa järkeä: tyypillisellä tasaisella järjestelmällä pallolla voi olla mielivaltaisen suuri määrä hyperbolisia rajajaksoja, joita ei tuhoa pieni häiriö, mikä tarkoittaa ylärajan kysymistä. rajajaksojen määrästä tyypillisessä perheessä merkityksetön. Globaalin äärellisyyden arvelun sujuva analogi on kuitenkin järkevä. Sen muotoili nimenomaan Yu. S. Iljashenko [ I94 ] ja sitä kutsuttiin Hilbert-Arnold-ongelmaksi :

Ongelma (Hilbert-Arnold-ongelma). Missä tahansa tyypillisessä äärellisparametriisessa tasaisten vektorikenttien perheessä pallolla, jolla on kompakti parametrikanta, rajajaksojen lukumäärä on tasaisesti rajoitettu kaikille parametrin arvoille.

Analyyttisiä perheitä on erittäin vaikea tutkia - ne eivät esimerkiksi salli paikallisia häiriöitä pisteen läheisyydessä, joten ei ole syytä uskoa, että Hilbert-Arnold-ongelman ratkaisu yksinään mahdollistaisi globaalin äärellisyyshypoteesin todistamisen. , ja sen mukana 16. Hilbertin ongelma. Tutkijat uskovat kuitenkin, että tasaisten vektorikenttien tutkimus voi antaa hyödyllisiä ideoita 16. ongelmasta ja edustaa myös itsenäistä merkityksellistä ongelmaa.

Paikallinen Hilbert-Arnold-ongelma

Parametrikannan ja vaiheavaruuden kompaktisuuden ansiosta voimme pelkistää Hilbert-Arnold-ongelman paikalliseksi ongelmaksi tutkia erityisten rappeutuneiden vektorikenttien bifurkaatioita . Muistakaamme tarvittavat määritelmät.

Määritelmä. Vektorikentän monisykli on syklisesti numeroitu joukko yksittäisiä pisteitä (mahdollisesti toistoineen) ja sarja vaihekäyrien kaaria (ilman toistoja), jotka yhdistävät peräkkäin osoitetut singulaariset pisteet - eli kaari yhdistää pisteet ja , missä , .

p_{1},\ldots ,p_{n}

\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}

\gamma _{j}

p_{j}

p_{{j+1}}

p_{{n+1}}\equiv p_{1}

j=1,\ldots ,n

Määritellään "polysyklin syklisyys", eli sen haaroittumisen aikana syntyvien rajasyklien lukumäärä:

Määritelmä. Harkitse jotakin vektorikenttien perhettä . Anna järjestelmään olla polycycle . Perheen polysyklin syklisyys on niin pieni määrä , että polysyklillä on sellainen naapuruus ja parametrin kriittisen arvon ( ) naapuruus, että kaikille alueella on samanaikaisesti vain rajajaksoja, ja Hausdorffin etäisyys näiden syklien välillä ja pyrkii nollaan .

\{v_{\varepsilon }(x)\}_{{\varepsilon \in B^{k))}

\varepsilon=\varepsilon_{*}

\gamma

\gamma

\{v_{\varepsilon }\}

\mu

U\supset\gamma

V

{\mathbb R}^{k}\supset V\ni \varepsilon _{*}

\varepsilon \in V

U

\mu

\gamma

\varepsilon \to \varepsilon_{*}

Siten syklisyys ei riipu ainoastaan polysyklin sisältävästä vektorikentästä, vaan myös perheestä, johon se sisältyy.

Määritelmä. Bifurkaatioluku on ei-triviaalisen polysyklin maksimisyklisyys pallolla olevien sileiden vektorikenttien tyypillisessä -parametrisessa perheessä.

B(k)

k

Bifurkaatioluvun määritelmä ei enää riipu perheestä, vaan vain parametriavaruuden laajuudesta. Muotoilkaamme paikallinen Hilbert-Arnold-ongelma :

Tehtävä. Todista, että jokaiselle on olemassa , ja löydä selkeä yläraja.

k>0

B(k)<\infty

Kompaktiteettinäkökohdista seuraa, että jos rajasyklien lukumäärää tietyssä perheessä ei ole rajoitettu, niin niiden on akkumuloituva jollekin polysyklille, jolla on siten ääretön syklisyys. Siten paikallisen Hilbert-Arnold-ongelman ratkaisu sisältää globaalin ratkaisun.

Paikallinen Hilbert-Arnold-ongelma on ratkaistu ja ( , ). Sillä ratkaisustrategia on olemassa, mutta se ei ole tällä hetkellä valmis. Saman strategian soveltaminen arviointiin vaikuttaa täysin toivottomalta tehtävältä. Tärkeimmät tulokset tällä alueella mielivaltaisille tuloksille saatiin paikallisen Hilbert–Arnold-ongelman yksinkertaistetulla versiolla, jossa huomioidaan vain polysyklit, jotka sisältävät vain alkeisyksikköpisteitä . $k = 1$ $k = 2$ $B(1) = 1$ $B(2) = 2$ $k = 3$ $B(4)$ $k$

Määritelmä. Singulaarista pistettä kutsutaan alkeispisteeksi , jos sen linearisointimatriisissa on vähintään yksi nollasta poikkeava ominaisarvo . Monipyörää kutsutaan alkeispyöräksi , jos sen kaikki kärjet ovat alkeellisia singulaaripisteitä.

Alkeinen bifurkaatioluku on alkeispolysyklin suurin syklisyys tyypillisessä -parametrisessa perheessä. $E(k)$ $k$

Lause (Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, 1995 [ IYa ]). Sillä jokainen on olemassa .

k>0

E(k)<\infty

Lause (V. Yu. Kaloshin, 2003 [ K ]). Jokaisen osalta arvio on totta .

k>0

E(k)<25^{{k^{2}}}

Kirjallisuus

[AAIS] V. I. Arnold, V. S. Afraimovitš, Yu. S. Iljashenko, L. P. Šilnikov. Bifurkaatioiden teoria // Dynaamiset järjestelmät-5. Tieteen ja tekniikan tuloksia. Nykyajan matematiikan ongelmat. perussuuntia. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
[I94] Yu. Iljashenko. Normaalit muodot paikallisille perheille ja ei-paikallisille bifurkaatioille // Asterisque. - 1994. - Voi. Vol. 222. - S. 233-258 .
[IYa] Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko. Äärimmäisen sileät normaalimuodot paikallisista diffeomorfismien perheistä ja vektorikentistä // Uspekhi Mat . - 1991. - T. 46 , nro 1 (277) . — s. 3–39 .
[K01] V. Yu. Kaloshin. Hilbert–Arnold-ongelma ja arvio polysyklien syklisyydestä tasossa ja avaruudessa // Funktio. analyysi ja sen sovellukset. - 2001. - T. 35 , nro 2 . — s. 78–81.
[IK] Ilyashenko, Yu., Kaloshin, V. Taso- ja spatiaalisten polysyklien haarautumiset: Arnoldin ohjelma ja sen kehitys. // Fields Inst. commun. - 1999. - Voi. 24. - s. 241-271.
[K] V. Kaloshin. Eksistentiaalinen Hilbertin 16. ongelma ja arvio alkeispolysyklien syklisyydestä // Invent. matematiikka. - 2003. - Voi. 151. - s. 451-512.

David Hilbertin panos tieteeseen
tilat	Hilbertin avaruus Pre-Hilbertin tila Gilbert tiili
aksiomatiikka	Hilbertin aksiomaattinen
Lauseet	Hilbertin lause 90 Hilbertin peruslause Hilbertin nollalause Hilbert-Schmidtin lause
Operaattorit	Hilbertin muunnos Hilbert-Schmidt operaattori
Yleinen suhteellisuusteoria	Einstein-Hilbertin yhtälöt " Hilbert ja gravitaatiokenttäyhtälöt "
Muut	Hilbertin ongelmia Hilbertin käyrä Hilbertin matriisi Hilbert-Arnoldin ongelma Hilbert-sarja ja Hilbert-polynomi Paradoksi "Grand Hotel"