Hilbertin kuudestoista ongelma

Hilbertin kuudestoista ongelma on yksi niistä 23 ongelmasta , jotka David Hilbert ehdotti 8. elokuuta 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa .

Aluksi ongelmaa kutsuttiin "algebrallisten käyrien ja pintojen topologian ongelmaksi" ( saksaksi: Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).

Nyt sen katsotaan jakautuvan kahteen samanlaiseen ongelmaan matematiikan eri alueilla:

Todellisten n - asteisten algebrallisten käyrien soikioiden keskinäisen järjestelyn tutkiminen (ja vastaava kysymys algebrallisille pinnoille ).
Ylärajan saaminen n - asteisen polynomivektorikentän rajasyklien lukumäärälle ( ja niiden keskinäisen järjestyksen tutkiminen).

Alkuperäinen asetus

Ensimmäinen (algebrallinen) osa

Harnackin { Math . _ Ann. 10 (1876), 189-192}. <...> Minusta on mielenkiintoista tutkia perusteellisesti yksittäisten haarojen maksimimäärän keskinäistä järjestystä sekä vastaavaa tutkimusta algebrallisen pinnan yksittäisten onteloiden lukumäärästä, luonteesta ja sijoittelusta avaruudessa ; loppujen lopuksi ei ole vielä selvitetty, mikä on itse asiassa neljännen asteen pinnan onteloiden enimmäismäärä kolmiulotteisessa avaruudessa. [1] .

Alkuperäinen teksti (saksa)[ näytäpiilottaa] 16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen. Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve n -ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} bestimmt worden; es entteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich - freilich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben ein kann, keinesfalls sämtlich verda fen von ein dessenge und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel bieden, einer algebraischen Flänt entsprechende eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886} [2] .

Toinen (differentiaalinen) osa

Tämän puhtaasti algebrallisen kysymyksen yhteydessä käsittelen toista, joka mielestäni pitäisi ratkaista mainitulla kertoimien jatkuvan muutoksen menetelmällä<...>, nimittäin kysymystä enimmäismäärästä ja Poincarén rajasyklien sijainti ensimmäisen näköasteen differentiaaliyhtälölle

{\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},

missä X , Y ovat kokonaisia n:nnen asteen rationaalisia funktioita x :n , y :n suhteen tai homogeenisesti

X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}- x{\frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0,

missä X , Y , Z ovat kokonaisia n:nnen asteen rationaalisia homogeenisia funktioita suhteessa x , y , z , jotka on määriteltävä parametrin t funktioina . [yksi]

Alkuperäinen teksti (saksa)[ näytäpiilottaa] Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in Angriff nehmen der cyclzcarn der Maximaline Pocketsyna der durchéchn Topologie für durchen ) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},

wo X , Y ganze rationale Funktionen nten Grades in x , y sind, oder in homogener Schreibweise

X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\ frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0

wo X , Y , Z ganze rationale homogene Functionen nten Grades von x , y , z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind. [2]

Ensimmäisen osan historia

Hilbertin raporttiin mennessä Newton ja Descartes olivat saaneet [3] topologisia kuvauksia 3- ja 4-asteisista käyristä, ja Harnackin todistama lause teki mahdolliseksi arvioida käyrän toisiinsa liittyvien komponenttien lukumäärän : se ei voinut ylittää , missä sen suku on . $g+1$ $g=(d-1)(d-2)/2$

Gilbert sanoi raportissaan:

Mitä tulee kuudennen kertaluvun käyriin, varmistin - kuitenkin melko vaikealla tiellä - että ne 11 haaraa, jotka Harnackin mukaan saadaan, eivät koskaan sijaitse kokonaan toistensa ulkopuolella; aina on yksi haara, jonka sisällä on toinen, ja jonka ulkopuolella on loput yhdeksän tai päinvastoin.

Kuitenkin, kuten D.A. Gudkov havaitsi [4] 1970-luvulla, tapaus on myös mahdollinen, kun yhden käyrän sisällä ja ulkopuolella on 5 soikiota, jota Hilbert piti mahdottomana. Analysoiessaan konstruktioitaan Gudkov esitti olettamuksen, joka vahvisti parillisen asteen M-polynomeille esimerkin mukaisesti konstruoidun alueen Euler-ominaisuuden vertailukelpoisuusmoduulin 8 tietyllä numerolla (eli kanssa asteen 2 k polynomeille ); Erityisesti se selitti, että kolmessa toteutuneessa aste-6-muunnelmassa sisällä olevien käyrien numerot, 1, 5 ja 9, kulkevat 4:n läpi. $k^{2}$

Tämän hypoteesin todisti Gudkov itse. Yleisessä tapauksessa sen todisti V. I. Arnold [5] heikennetyssä kongruenssin modulo 4 muodossa ja sitten V. A. Rokhlin [6] [7] täysin yleisesti ottaen huomioon erityisesti rakennettuja neliulotteisia monistoja [4] . $k = 3$

Erilaisten esimerkkien rakentaminen sai myös O. Ya . Viron luomaan tilkkutyöskentelytekniikan , joka mahdollistaa "algebrallisten käyrien liimaamisen yhteen tietyn käyttäytymisen omaavista kappaleista" .

Vuonna 1972 Vjatšeslav Kharlamov antoi ratkaisun ensimmäiseen osaan, joka koski neljännen asteen algebrallisten pintojen komponenttien lukumäärää ja topologioita kolmessa ulottuvuudessa, ja vuonna 1976 hän valmistui Hilbertin ongelmasta.

Toisen osan historia

Yksilöllinen äärellisyyslause

Ensimmäinen askel kohti Hilbertin kuudennentoista ongelman tutkimusta täysin yleisellä tasolla oli olla yksilöllinen äärellisyyslause : polynomivektorikentässä tasossa on vain äärellinen määrä rajajaksoja . Tämän lauseen julkaisi vuonna 1923 ranskalainen matemaatikko Henri Dulac [8] ja sitä pidettiin todistettuna pitkään.

Yu. S. Iljashenko löysi 1980-luvulla merkittävän aukon Dulacin todistuksessa [9] [10] , ja kysymys yksilön äärellisyydestä jäi avoimeksi aina vuoteen 1991-92 saakka, jolloin Iljashenko [11] ja Ekal [12] samanaikaisesti ja itsenäisesti. eri lähestymistapoja käyttäen antoi siihen myönteisen vastauksen (täydellisen todisteen esittäminen edellytti jokaisen kirjoittavan erillisen kirjan), katso myös uuden todisteen kaavio [13] .

Petrovsky-Landiksen strategia

Neliölliset vektorikentät

Ongelman lievempiä versioita

Katso myös

Hilbert-Arnoldin ongelma

Kirjallisuus

↑ 1 2 Käännös Hilbertin raportista saksasta - M. G. Shestopal ja A. V. Dorofeev , julkaistu kirjassa Hilbert's Problems / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 39. - 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Käyttöpäivä: 3. tammikuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön)
↑ 12 David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (saksa) (linkki, jota ei voi käyttää) . — Raportin teksti, jonka Hilbert luki 8. elokuuta 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa. Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 17. heinäkuuta 2009.
↑ V. I. Arnold, Mitä on matematiikka? MTsNMO, 2002; Kanssa. 39.
↑ 1 2 V. I. Arnold, Mitä on matematiikka? MTsNMO, 2002; Kanssa. 43.
↑ V. I. Arnold, "Tositason algebrallisten käyrien soikioiden järjestelystä, neliulotteisten sileiden monistojen involuutioista ja integraalisten neliömuotojen aritmetiikasta", Funkts. analyysi ja sen sovellukset, 5:3 (1971), 1–9.
↑ V. A. Rokhlin, "Todiste Gudkovin olettamuksesta", funktio. analyysi ja sen sovellukset, 6:2 (1972), 62–64.
↑ V. A. Rokhlin, "Modulo 16 -vertailut Hilbertin kuudestoista ongelmassa", Funct. analyysi ja sen sovellukset, 6:4 (1972), 58–64.
↑ Dulac, H. Sur les syklien rajat. Sonni. soc. Matematiikka. France , 51 : 45-188 (1923); // Venäläinen käännös: Dulac A. Rajajaksoista. - M .: Nauka, 1980
↑ Iljashenko , Yu . _ _ 4, s. 127.
↑ Yu . S. Iljashenko . "Dulacin muistelma "Rajajaksoista" ja siihen liittyvät kysymykset differentiaaliyhtälöiden paikallisesta teoriasta", Uspekhi Mat. Nauk, 40 :6(246) (1985), 41-78
↑ Yu. Iljashenko, Rajajaksojen rajallisuuslauseet, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
↑ J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
↑ Yu. S. Iljashenko. Rajajaksojen rajallisuuslauseet: päivitetyn todistuksen pääpiirteet. Izv. RAN. Ser. Mat., 80:1 (2016), 55–118

V. I. Arnold, Mitä on matematiikka? MTsNMO, 2002; Kanssa. 39-45.
M. E. Kazaryan, Tropical Geometry , luentomuistiinpanot.
Yu. S. Ilyashenko, Hilbertin 16. ongelman satavuotinen historia. Kokoelmassa “Globe: General Mathematical Seminar. Ongelma. 1” , M.: MTsNMO, 2004. // Hilbertin 16. ongelman satavuotishistoria, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301-354.
Hilbertin ongelmia. la toim. P.S. Aleksandrova. Moskova: Nauka, 1969.

Hilbertin ongelmia
yksi 2 3 neljä 5 6 7 kahdeksan 9 kymmenen yksitoista 12 13 neljätoista viisitoista 16 17 kahdeksantoista 19 kaksikymmentä 21 22 23 ( 24 )