Hilbertin kolmas ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Hilbertin kolmas ongelma on kolmas niistä ongelmista , jotka David Hilbert esitti kuuluisassa puheessaan II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa vuonna 1900. Tämä ongelma on omistettu polyhedrien yhtäläisen koostumuksen kysymyksille : mahdollisuus leikata kaksi yhtä tilavuudellista polyhedraa rajalliseksi määräksi yhtä suuria osia - polyhedra.

Tällaisen kysymyksen esittäminen johtui siitä, että toisaalta tasossa mitkä tahansa kaksi samanpintaista monikulmiota ovat samankokoisia - kuten Bolyai-Gervin-lause sanoo . Toisaalta olemassa olevat menetelmät tetraedrin tilavuuden kaavan todistamiseksi (1/3 pohjan korkeuden ja pinta-alan tulosta) liittyivät jotenkin rajasiirtymiin ja siten aksioomaan Archimedes [1] . Vaikka Hilbertin ehdottamassa sanamuodossa oli kyse kirjaimellisesti tetraedrien yhtäläisestä koostumuksesta (tai tarkemmin sanottuna todisteesta tällaisen osion mahdottomuudesta yleisessä tapauksessa), se laajenee välittömästi ja luonnollisesti kysymykseen samanarvoisesta koostumuksesta. tietyn tilavuuden mielivaltaisista monitahoista (tai tarkemmin sanottuna noin tarpeellisista ja riittävistä näissä olosuhteissa).

Kolmas ongelma osoittautui yksinkertaisimmiksi Hilbertin ongelmista: esimerkki tilavuudeltaan epätasaisista tetraedreistä esitettiin vuotta myöhemmin, vuonna 1901, Hilbertin opiskelijan M. V. Dehnin teoksessa [2] . Nimittäin hän rakensi (ottaen arvot johonkin abstraktiin ryhmään ) suuren - Dehnin invariantin - jonka arvot yhtä koostuneilla polyhedreillä ovat yhtä suuret, ja esitti esimerkin yhtä tilavuudesta tetraedreistä, joille Dehnin invariantit ovat erilaisia.

Myöhemmin Seidlertyössään [3] vuonna 1965 hän osoitti, että tilavuuden ja Dehnin invariantin yhteensopivuus eivät ole vain välttämättömiä, vaan myös riittäviä ehtoja monitahoisten ekvikompositioille.

Ongelman selvitys

Hilbertin kolmas ongelma on muotoiltu seuraavasti:

Gauss ilmaisee kahdessa kirjeessään Gerlingille pahoittelunsa siitä, että jotkin stereometrian tunnetut kannat ovat riippuvaisia uupumusmenetelmästä, toisin sanoen, nykyaikaisin termein, jatkuvuuden aksioomasta (tai Archimedesin aksioomasta).

Gauss panee erityisesti merkille Eukleideen lauseen, jonka mukaan samankorkuisten kolmiomaisten pyramidien tilavuudet liittyvät niiden kantapintojen pinta-aloihin. Samanlainen planimetrian ongelma on nyt täysin ratkaistu. Gerling onnistui myös todistamaan symmetristen polyhedrien tilavuuksien yhtäläisyyden jakamalla ne yhteneväisiin osiin.

Siitä huolimatta minusta näyttää siltä, että yleisessä tapauksessa mainitun Eukleideen lauseen todistaminen tällä tavalla on mahdotonta, ja tämä voidaan ilmeisesti vahvistaa mahdottomuuden tiukalla todistuksella.

Tällainen todiste voitaisiin saada, jos olisi mahdollista osoittaa kaksi tetraedria, joilla on sama kanta ja sama korkeus, joita ei voida hajottaa millään tavalla yhteneväisiksi tetraedreiksi ja joita ei myöskään voida täydentää yhteneväisillä tetraedreillä sellaisiksi monitahoiksi, joiden hajoaminen yhtenäisiksi tetraedreiksi ehkä .

David Hilbert (lainattu V. G. Boltyanskyn kirjasta [4] )

Dehnin invariantti

Dehnin rakentama invariantti ottaa arvot abstraktissa ryhmässä (ja lisäksi vektoriavaruuden yli ) $\mathbb {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

Nimittäin polytoopille P , jolla on reunan pituudet ja vastaavat dihedraaliset kulmat , Dehnin invariantti D(P) asetetaan yhtä suureksi kuin $l_{1},\pisteet ,l_{n}$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$

D(P):=\summa _{i}l_{i}\otimes \alpha _{i}\in V

Kun monitahoista leikataan osiin, summan "reunaan sisältyvän kulman pituus" arvo voi muuttua vain, kun uusia reunoja ilmaantuu / katoaa, ilmestyy sisälle tai rajalle. Mutta tällaisilla reunoilla niiden vieressä olevien dihedraalisten kulmien summa on yhtä suuri tai vastaavasti, joten tekijän V elementtinä Dehn-invariantti ei muutu. $\otimes$ $2\pi$ $\pi$

Esimerkki

Esimerkki Dehnin invariantin soveltamisesta on kuution ja yhtä tilavuudeltaan säännöllisen tetraedrin epätasainen koostumus: kuutiolle, jonka reuna on l , Dehnin invariantti on , ja säännöllisen tetraedrin, jonka reuna on a - $12l\otimes {\frac {\pi }{2))=6l\otimes \pi =0$

6a\otimes 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

koska $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Muistiinpanot

↑ Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. maaliskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön) Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. maaliskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön)
↑ Max Dehn: "Über den Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), no. 3, sivut 465-478.
↑ Sydler, J.-P. "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." kommentti. Matematiikka. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ Boltyansky V. G. Hilbertin kolmas ongelma . - M .: Nauka, 1977. - S. 46. - 208 s. Arkistoitu 21. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen

Linkit

Weisstein, Eric W. Dehn Invariant (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Hilbertin ongelmat / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu 17. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa
Boltyansky V. G. Hilbertin kolmas ongelma
Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Konigl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Matematiikka. Ann. 55, 465-478, 1902.
Sydler, J.-P. "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." kommentti. Matematiikka. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, s. 261-288.

Hilbertin ongelmia
yksi 2 3 neljä 5 6 7 kahdeksan 9 kymmenen yksitoista 12 13 neljätoista viisitoista 16 17 kahdeksantoista 19 kaksikymmentä 21 22 23 ( 24 )