Hilbertin yhdeksäs ongelma on yksi niistä 23 Hilbertin ongelmasta , jotka David Hilbert esitti vuonna 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa ja joilla oli poikkeuksellinen vaikutus matematiikan kehitykseen 1900-luvulla.
Ongelma ratkesi osittain Emil Artinin todistuksella Artinin vastavuoroisuuslaista algebrallisten lukukenttien Abelin laajennuksille [1] [2] . Myöhemmin, vuonna 1948 , I. R. Shafarevich löysi yleisimmän tehojäännösten vastavuoroisuuden lain algebrallisten lukujen kentistä [3] [4] .
Ei-abelilaisessa tapauksessa ongelmaa ei ole vieläkään ratkaistu.
9. Todistus yleisestä vastavuoroisuuden laista missä tahansa numerokentässä.
<…> On todistettava vastavuoroisuuden laki l : nnen kertaluvun tehojäännöksille missä tahansa lukukentässä, l on pariton alkuluku ja jos l on luvun 2 kokonaislukupotenssi . <…> [5]
Alkuperäinen teksti (saksa)[ näytäpiilottaa] 9. Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper. Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der l-ten Potenzreste bewiesen werden, wenn l eine ungerade Primzahl bedeutet und ferner, wenn l eine Potenz von 2 oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl. Die Aufstellung des Gesetzes, wie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte Theorie des Körpers der l ten Einheitswurzeln Theorie. IV, 1897. Fünfter Teil} und meine Theorie {Mathematische Annalen, Bd. 51 und Nachrichten der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898} des relativ-quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallgemeinert. [6] .| Hilbertin ongelmia | |
|---|---|