Algebrallinen luku

Kentän yläpuolella oleva algebrallinen luku on kentän algebrallisen sulkemisen elementti eli polynomin juuri (ei identtisesti nolla ), jonka kertoimet ovat peräisin . $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Jos kenttää ei ole määritetty, oletetaan rationaalilukujen kenttä eli tässä tapauksessa algebrallisten lukujen kenttää merkitään yleensä . Tämä joukko on kompleksilukukentän alikenttä . $\mathbb {F} =\mathbb {Q}$ $\mathbb {A}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Reaali- tai kompleksilukua , joka ei ole algebrallinen, kutsutaan transsendentaaliksi .

Kokonaisalgebralliset luvut ovat polynomien juuria, joiden kokonaislukukerroin on yhtä suuri kuin yksi.

Jos on algebrallinen luku, niin kaikkien polynomien joukossa, joiden juurina on kentän kertoimet , on yksi polynomi, jonka aste on pienin ja jonka suurin kerroin on yhtä suuri. Tällaista polynomia kutsutaan minimaaliseksi tai kanoniseksi polynomiksi algebrallisen luvun yli (joskus polynomia kutsutaan kanoniseksi , jos se saadaan minimistä kertomalla sen kertoimet kertoimien nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaiskertoimella , eli polynomi kokonaislukukertoimilla). Kanonisen astetta polynomin yläpuolelle kutsutaan algebrallisen luvun asteeksi . $\alpha$ $\mathbb {F}$ $\alpha$ $\alpha$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ $\alpha$ $\alpha$

Muita kanonisen polynomin yläpuolella olevia juuria kutsutaan konjugaatiksi ( Galoisin mukaan ) kanssa over . $\mathbb {F}$ $\alpha$ $\alpha$ $\mathbb {F}$

Minimi ylipolynomi on määritelmän mukaan redusoitumaton yli . $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Algebrallisen luvun korkeus on suurin kertoimien absoluuttisista arvoista pelkistymättömässä ja primitiivisessä polynomissa , jossa on kokonaislukukertoimet, jolla on juurensa. Tätä suuruutta kutsutaan myös itse redusoitumattoman polynomin korkeudeksi . $\alpha$ $\alpha$

Esimerkkejä

Rationaaliset luvut ja vain ne ovat ensimmäisen asteen algebrallisia lukuja.
Kuvitteellinen yksikkö ja ovat toisen asteen algebrallisia lukuja. Niiden konjugaatit ovat vastaavasti , ja . $i$ ${\sqrt 2}$ $-i$ $-{\sqrt 2}$
Gaussin kokonaisluvut , niiden aste on myös toinen.
Kultainen suhde polynomin juurena $x^{2}-x-1.$
${\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ - 3. asteen algebrallinen luku, polynomin juuri . Konjugaattiluvut ovat yhtä suuret . $x^{3}+3x-2$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {- 1\mp {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}$
Minkä tahansa luonnollisen luvun kohdalla luku on asteluvun algebrallinen luku . $n$ ${\sqrt[{n}]{3))$ $n$

Ominaisuudet

Kahden algebrallisen luvun summa, erotus, tulo ja osamäärä [1] ovat algebrallisia lukuja, eli kaikkien algebrallisten lukujen joukko muodostaa kentän .
- Seuraus: Kompleksiluku on algebrallinen silloin ja vain, jos sen molemmat komponentit ovat algebrallisia lukuja. $a+bi$ $a,b$
Algebrallisten lukujen joukko on laskettavissa , ja siksi sen mitta on nolla.
Algebrallisten lukujen joukko on tiheä kompleksitasolla .
Algebrallisilla kertoimilla varustetun polynomin juuri on algebrallinen luku, eli algebrallisten lukujen kenttä on algebrallisesti suljettu .
Kaikille algebrallisille luvuille on olemassa luonnollinen luku, joka on algebrallinen kokonaisluku . $\alpha$ $N$ $N\alpha$
Algebrallisella asteluvulla on useita konjugaattilukuja (mukaan lukien itsensä). $\alpha$ $n$ $n$
$\alpha$ ja ovat konjugoituja , jos ja vain jos on olemassa kentän automorfismi , joka kartoitetaan . $\beeta$ $\mathbb {A}$ $\alpha$ $\beeta$
Mikä tahansa algebrallinen luku on laskettavissa ja siksi aritmeettinen .

Radikaaleilla ilmaistavat luvut

Mikä tahansa luku, joka voidaan saada kokonaisluvuista käyttämällä neljää aritmeettista operaatiota (yhdistys-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) sekä kokonaislukuasteen juuren erottaminen , on algebrallinen. Joten esimerkiksi luku on algebrallinen , samoin kuin muodon luvut , joissa on rationaalilukuja . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1998}{{\sqrt[{19}]{98}}-{\sqrt[{199}]{8))))))$ $Q_{1}^{Q_{2}}+Q_{3}^{Q_{4}}+\ldots +Q_{n}^{Q_{n+1}}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}\dots Q_{n+1))$

Kaikkia algebrallisia lukuja ei kuitenkaan voida kirjoittaa radikaaleilla. Joten esimerkiksi Abel-Ruffinin lauseen mukaan viiden ja sitä korkeamman asteen polynomit kokonaislukukertoimilla voivat olla ratkaisemattomia radikaaleissa. Tällaisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja, joita ei voida muodostaa neljästä aritmeettisesta operaatiosta ja juurien erottamisesta [2] .

Historia

Euler ehdotti nimeä algebralliset ja transsendenttiset luvut vuonna 1775. Tuolloin minkään tunnetun luvun ylittämistä ei vielä tiedetty [2] . Gauss alkoi harkita muita kuin rationaalisia algebrallisia kenttiä . Perustellessaan bikvadraattisten jäännösten teoriaa hän kehitti Gaussin kokonaislukujen aritmetiikkaa eli lukujen muotoa , jossa ja ovat kokonaislukuja . $a+bi$ $a$ $b$

Gaussin tutkimuksen jatko johti 1800-luvun jälkipuoliskolla yleisen algebrallisten lukujen teorian rakentamiseen [3] . Lisäksi tutkiessaan kuutiojäännösteoriaa Jacobi ja Eisenstein loivat muodon lukujen aritmeettisen luvun , jossa on yksikön kuutiojuuri ja ovat kokonaislukuja . Vuonna 1844 Liouville osoitti lauseen , jonka mukaan polynomien juuria, joilla on rationaaliset kertoimet, ei voida liian hyvin approksimoida rationaalisilla murtoluvuilla, ja sen seurauksena esitteli algebrallisten ja transsendenttisten (eli kaikkien muiden reaalilukujen) muodolliset käsitteet. $a+b\rho$ $\rho =(-1+i{\sqrt 3})/2$ $a$ $b$

Yritykset todistaa Fermatin viimeinen lause sai Kummerin tutkimaan ympyrän jakokenttiä , esittelemään ideaalin käsitteen ja luomaan algebrallisen lukuteorian elementtejä. Dirichlet'n , Kroneckerin , Hilbertin ja muiden teoksissa algebrallisten lukujen teoriaa kehitettiin edelleen. Suuren panoksen siihen antoivat venäläiset matemaatikot Zolotarev ( ideaaliteoria ), Voronoi (kuutioirrationaalisuus, kuutiokenttien yksiköt), Markov (kuutiokenttä), Sokhotsky (ideaaliteoria) ja muut.

Muistiinpanot

↑ paitsi nollalla jakamisen osamäärä
↑ 1 2 A. Žukov. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut // Kvant. - 1998. - Nro 4 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. heinäkuuta 2018.
↑ Vinogradov I. M. Carl Friedrich Gauss // Teoksia lukuteoriasta. - M .: AN SSSR, 1959.

Linkit

Feldman, N. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut Arkistoitu 19. syyskuuta 2004 Wayback Machinessa // Kvant , nro 7, 1983.
Nesterenko Yu. V. Luennot algebrallisista luvuista Arkistokopio päivätty 12. kesäkuuta 2017 Wayback Machinessa // Tiivistelmä Moskovan valtionyliopiston mekaniikka ja matematiikan kurssista .
Mazur B. : Algebralliset luvut arkistoitu 7. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa (PDF; 272 kB ) .

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion