Archimedesin aksiooma

Arkhimedesen aksiooma eli Arkhimedesen periaate eli Arkhimedesen ominaisuus on antiikin kreikkalaisen matemaatikon Archimedesin mukaan nimetty matemaattinen lause . Ensimmäistä kertaa tämän ehdotuksen muotoili Eudoxus of Cnidus suureen suhteiden teoriassaan (Eudoxuksen määrän käsite kattaa sekä numerot että jatkuvat suureet: segmentit , alueet , tilavuudet [1] ):

Jos on kaksi määrää, ja , ja pienempi kuin , ottamalla summan riittävän monta kertaa, voit ylittää : $a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

Esimerkiksi segmenteille Arkhimedesen aksiooma kuulostaa tältä: jos annetaan kaksi segmenttiä, niin laittamalla pienempi tarpeeksi monta kertaa sivuun, voit peittää suuremman.

Arkhimedesen aksiooman väite vaikuttaa triviaalilta, mutta sen todellinen merkitys on äärettömän pienten ja/tai äärettömän suurten määrien puuttuessa . Tämä aksiooma ei siis täyty epästandardissa analyysissä : hyperreaalilukujen joukko sisältää äärettömän pieniä ja äärettömän suuria määriä. Sellaiset elementit eivät välttämättä täytä Arkhimedesin aksioomaa. Muut esimerkit ovat mahdollisia .

Matemaattisia rakenteita , joille Arkhimedes-ominaisuus pätee, kutsutaan Arkhimedeen kenttään , esimerkiksi Arkhimedeen kenttä ja Arkhimedeen ryhmä , ja niitä, joille se ei päde, kutsutaan ei-Arkhimedeen .

Historia

Aksiooman , joka tunnetaan matematiikassa Archimedesin aksioomana, esitti itse asiassa ensimmäisenä Eudoxus of Cnidus . Tällä ehdotuksella oli keskeinen rooli hänen suhdeteoriassaan, joka oli pohjimmiltaan ensimmäinen aksiomaattinen reaaliluvun teoria . Siksi sitä kutsutaan myös Eudoxuksen aksioomaksi .

Eudoxuksen teoria on tullut meille Eukleideen esityksessä ( The Beginnings , Book V).

Arvojen sanotaan liittyvän toisiinsa, jos ne moninkertaisina voivat ylittää toisensa."Alku", kirja V, määritelmä 4 [2]

Eudoxus–Archimedes-aksiooma pohjautuu Eudoxuksen keksimään ns. " uupumusmenetelmään", joka on menetelmä kuvioiden pinta-alojen, kappaleiden tilavuuksien ja kaaren pituuksien löytämiseksi nykyaikaisten Riemannin ja Darboux'n summien analogia käyttäen . Eudoxus osoitti menetelmänsä avulla tiukasti useita lauseita pinta-alojen ja tilavuuksien laskemisesta. Arkhimedes saavutti kuitenkin suurimmat tulokset tällä alalla. Eudoxus-menetelmällä hän löysi useita uusia alueita ja volyymeja. Samaan aikaan, koska muinaisessa Kreikassa ei ollut sekvenssin käsitettä, sekvenssin rajaa , Arkhimedes joutui toistamaan päättelyn uudelleen jokaisessa erityisessä ongelmassa. Siten Arkhimedes muotoili ja käytti kirjoituksissaan Eudoxus-Archimedes-aksiooman. Samaan aikaan Arkhimedes itse " Paraabelin kvadratuurin " johdannossa korostaa, että hänen edeltäjänsä käyttivät tätä aksioomaa ja sillä oli merkittävä rooli Eudoxuksen teoksissa [3] .

Matemaattisessa analyysissä

Archimedesin periaate on varsin tärkeä sekä teoreettisesti että mittauksissa ja laskelmissa käytettävän erityiskäytön kannalta [4] .

Reaalilukujen täydellisyyden perusteella Arkhimedesin periaate vaatii yleensä todisteita, kun taas muun aksiomatiikan periaate sisältyy usein aksioomien luetteloon.

Muotoilu: (jokaisella positiivisella reaaliluvulla on luonnollinen luku, joka on sitä suurempi) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Todistus: Oletetaan päinvastoin , Siksi , on yläraja. Reunalauseella valitsemme sitten , mutta , jolle , joka on ristiriidassa olemassaolon kanssa ja on siten ylhäältä päin rajaton, mikä puolestaan vastaa . H.t.d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $a$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\exists k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\in \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\mathbb {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Kertomalla tietyllä normalisointiluvulla saadaan olennaisesti artikkelin alussa ilmoitettu epäyhtälö. $a,n$

Moderni määritelmä

Lineaarisesti järjestetty ryhmä

Antaa olla lineaarisesti järjestetty ryhmä , ja olla positiivisia elementtejä . Elementin sanotaan olevan äärettömän pieni suhteessa elementtiin (a on äärettömän suuri suhteessa ), jos jollakin luonnollisella luvulla epäyhtälö $G$ $a$ $b$ $G$ $a$ $b$ $b$ $a$ $n$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

Ryhmää kutsutaan Arkhimedeen , jos Arkhimedes-aksiooma pätee siihen: ei ole alkioparia sellaisessa , että - on äärettömän pieni suhteessa . $G$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$

Tilattu kenttä

Olkoon järjestetty kenttä . Koska mikä tahansa järjestetty kenttä on lineaarisesti järjestetty ryhmä, niin kaikki yllä olevat äärettömän pienten ja äärettömän suurten elementtien määritelmät sekä Arkhimedesin aksiooman muotoilu pysyvät voimassa. Tässä on kuitenkin useita erityispiirteitä, joiden ansiosta Arkhimedesin aksiooman muotoilu yksinkertaistuu. $K$

Antaa olla positiivisia elementtejä . $a,b$ $K$

elementti on äärettömän pieni suhteessa elementtiin, jos ja vain jos se on äärettömän pieni suhteessa (sellaisia elementtejä kutsutaan yksinkertaisesti infinitesimaaliksi ) $a$ $b$ $a/b$ $1\in K$
elementti on äärettömän suuri elementin suhteen silloin ja vain, jos se on äärettömän suuri suhteessa (sellaisia elementtejä kutsutaan yksinkertaisesti äärettömän suuriksi ) $a$ $b$ $a/b$ $1\in K$

Infinitesimaalit ja infinitesimaalit elementit yhdistetään infinitesimaalien elementtien alle .

Vastaavasti Archimedesin aksiooman muotoilu on yksinkertaistettu: järjestetyllä kentällä on Arkhimedes-ominaisuus, jos se ei sisällä äärettömän pieniä alkioita tai vastaavasti, jos se ei sisällä äärettömän suuria alkioita. Jos tässä laajennetaan äärettömän pienen (tai äärettömän suuren) elementin määritelmää, saadaan seuraava Arkhimedesen aksiooman muotoilu: $K$

Jokaiselle kenttäelementille on olemassa sellainen luonnollinen elementti $a$ $K$ $n$ $n>a$

Tai vastaava sanamuoto:

Jokaiselle kentän positiiviselle elementille on olemassa sellainen luonnollinen elementti $\varepsilon > 0$ $n$ $1/n<\varepsilon$

Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä

Reaalilukujen joukko

Tunnetuin esimerkki Arkhimedeen kentästä on reaalilukujen joukko . Jos ajatellaan reaalilukujoukkoa rationaalilukujoukon täydennyksenä (esimerkiksi Dedekind-osien avulla ), niin Arkhimedes-ominaisuus reaaliluvuille seuraa siitä tosiasiasta, että rationaalisilla luvuilla on se . Yhdessä Hilbertin [5] ehdottamassa reaalilukujen aksioomajärjestelmässä reaalilukujen joukko määritellään maksimaaliseksi Arkhimedeen järjestetyksi kentällä, eli järjestetyksi kentällä, joka täyttää Arkhimedes-aksiooman (eli ei eivät sisällä infinitesimaalisia elementtejä), joita ei voida laajentaa suurempiin Arkhimedean järjestettäviin kenttiin.

Ei-arkimedelainen järjestetty kenttä

Esimerkkinä (tai pikemminkin vastaesimerkkinä) järjestetystä kentästä, jolle Archimedesin aksiooma ei päde, harkitse rationaalisten funktioiden joukkoa todellisilla kertoimilla, eli muodon funktioita

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

Suhteessa tavallisiin yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin tämä joukko muodostaa kentän . Esittelemme järjestyssuhteen rationaalisten funktioiden joukolle seuraavasti. Olkoon ja kaksi rationaalista funktiota. Sanomme, että jos ja vain jos jossain naapurustossa erolla on ehdottomasti positiivinen merkki. Tämä ehto voidaan myös muotoilla rationaalisten funktioiden kertoimilla ja . Kirjoitamme eron polynomina + oikea rationaalinen murtoluku: $f$ $g$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $f$ $g$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\lpisteet +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\lpisteet +b_{1}x+b_{0}} },

jossa oikean puolen viimeinen termi on oikea rationaalinen murtoluku, eli osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste: . Oletetaan myös, että nimittäjän johtava kerroin on . Sitten jos ja vain jos jompikumpi , tai polynomiosa puuttuu ja . Tämän järjestyksenmääritelmän oikeellisuus on helppo tarkistaa (tulee tarkistaa, että esitetty relaatio todellakin on järjestysrelaatio ja että tämä relaatio on yhdenmukainen kenttäoperaatioiden kanssa). $k<m$ $b_{m}$ $yksi$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Näin ollen rationaalisten funktioiden joukko muodostaa järjestetyn kentän. Huomaa, että se on reaalilukukentän laajennus, mutta Archimedesin aksiooma ei päde tässä (katso edellisen osan loppu). Todellakin, harkitse elementtejä ja . On selvää, että mikä tahansa luonnollinen luku tahansa , epätasa-arvo tapahtuu: $yksi$ $x$ $n$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

Toisin sanoen, on äärettömän suuri elementti kentässä suhteessa yhtenäisyyteen. Siten Archimedesin aksiooma ei päde tällä alalla. $x$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Matematiikan historia / Toim. A. P. Juskevitš. - M . : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Euclid. Alku / Käännös D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden pääkustantaja, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Esseitä matematiikan historiasta / Per. I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Matemaattinen analyysi, osa 1. - Moskova: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 s. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. Geometrian perusteet. - M. - L .: Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden pääkustantaja, 1948. - S. 87.

Kirjallisuus

Matematiikan historia / Toim. A. P. Juskevitš. - M . : "Nauka", 2003. - T. 1.
Euclid. Alku / Käännös D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden pääkustantaja, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. Geometrian perusteet. - M. - L .: Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden pääkustantaja, 1948.
Bourbaki, N. Esseitä matematiikan historiasta / Per. I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani