Tilattu ryhmä

Järjestetty ryhmä on ryhmä , jonka kaikille elementeille on määritelty lineaarinen järjestys , joka on yhdenmukainen ryhmäoperaation kanssa. Lisäksi toimintoa kutsutaan summaksi, ryhmän nollaa merkitään symbolilla . Yleensä ryhmä ei välttämättä ole kommutoiva . $0$

Määritelmä

Olkoon ryhmä ja sen elementeille on määritelty lineaarinen järjestys , eli relaatio ( pienempi tai yhtä suuri kuin ) annetaan seuraavilla ominaisuuksilla: $G$ $\leqslant$

Heijastuskyky : . $x \leqslant x$
Transitiivisuus : jos ja , niin sitten . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetria : jos ja , niin sitten . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Lineaarisuus : kaikki ryhmän elementit ovat vertailukelpoisia keskenään, eli mille tahansa joko , tai . $x,y$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Lisäksi edellytämme, että tilaus on yhdenmukainen ryhmätoiminnan kanssa:

Jos , niin mille tahansa z :lle seuraavat suhteet ovat tosia: $x \leqslant y$

x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.

Jos kaikki viisi aksioomaa ovat voimassa, ryhmän sanotaan olevan järjestys (tai lineaarisesti järjestetty ). Jos poistamme lineaarisuuden vaatimuksen (aksiooma 4), niin ryhmää kutsutaan osittain järjestetyksi . $G$

Järjestetty ryhmä on topologinen ryhmä , jolla on intervallityyppinen topologia [1] .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Merkintöjen helpottamiseksi otetaan käyttöön muita toissijaisia suhteita:

Suhde , joka on suurempi tai yhtä suuri kuin : tarkoittaa, että .

x\geqslant y

y\leqslant x

Suhde , joka on suurempi kuin : tarkoittaa, että ja .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Suhde pienempi kuin : tarkoittaa, että .

x<y

y>x

Kaavaa, jossa on jokin näistä neljästä suhteesta, kutsutaan epäyhtälöksi .

Järjestättyjen ryhmien isomorfismia kutsutaan y-isomorfiksi , jos se säilyttää järjestyksen.

Järjestetyn ryhmän aliryhmää kutsutaan konveksiksi , jos kaikki elementtien väliset alkiot kuuluvat Formaaliseen merkintään: if ja sitten Yhden nollan aliryhmä on ilmeisesti konveksi ja sitä kutsutaan triviaaliksi . $H$ $G$ $g\in G$ $H,$ $H.$ $h_{1},h_{2}\in H$ $h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},$ $g\in H.$

Ominaisuudet

Epäyhtälöt samantyyppisillä relaatioilla voidaan lisätä [2] , esimerkiksi:

Jos ja sitten

a<b

c<d,

a+c<b+d

Ei- triviaalista äärellistä ryhmää ei voida järjestää [3] . Toisin sanoen ei-triviaali järjestetty ryhmä on aina ääretön.

Archimedes

Ryhmään kuuluvaa järjestystä kutsutaan Arkhimedeokseksi , jos sellainen on olemassa, ja se on luonnollinen , että: $a>0$ $b>0$ $n,$

\alleviivaus {a+a+\ldots +a}_{{n}}>b

Hölderin lause . Jokainen järjestetty Arkhimedeen ryhmä on y-isomorfinen reaalilukujen additiivisen ryhmän alaryhmälle (tavallisessa järjestyksessä); erityisesti tällainen ryhmä on aina kommutiivinen [4] .

Seuraus 1: mikä tahansa y-automorfismi reaalilukujen additiivisen ryhmän kahden alaryhmän välillä pelkistyy dilataatioon, eli kertolaskuksi kiinteällä kertoimella [4] .

Seuraus 2: Arkhimedeen ryhmän y-automorfismien ryhmä on isomorfinen positiivisten realiteettien multiplikatiivisen ryhmän alaryhmän kanssa [4] .

Toinen arkhimedelaisen olemisen kriteeri: järjestetty ryhmä on arkimedelainen silloin ja vain, jos se ei sisällä ei-triviaaleja konveksia alaryhmiä [1] .

Positiiviset ja negatiiviset elementit

Ryhmän nollaa suurempia elementtejä kutsutaan positiivisiksi ja pienempiä kuin nolla- negatiivisiksi . Nollan lisääminen näihin kahteen joukkoon tuottaa joukon ei-negatiivisia ja ei-positiivisia elementtejä, vastaavasti. Jos sitten, lisäämällä saamme, että Tämä tarkoittaa, että elementit, jotka ovat käänteisiä ei-negatiivisille, ovat ei-positiivisia ja päinvastoin. Siten jokainen järjestetyn ryhmän elementti kuuluu yhteen ja vain yhteen kolmesta kategoriasta: positiivinen, negatiivinen, nolla. $x\geqslant 0,$ $-x,$ $-x\leqslant 0.$

Merkitse ei-negatiivisten elementtien joukkoa. Tällöin elementtien vastakkainen joukko sisältää kaikki ei-positiiviset elementit. Listaamme näiden joukkojen ominaisuudet [5] [1] . $P$ $-P,$ $P,$

(P1) on kiinni lisäyksen aikana.

P

(P2) on täsmälleen yksi yhteinen elementti, ryhmän nolla:

-P

P

P\cap (-P)=\{0\}.

(P3) mille tahansa

{\näyttötyyli (-g)+P+g\subset P}

g\in G.

(P4)

P\cup (-P)=G.

Tilauksen rakentava rakentaminen

Yksi tapa määrittää lineaarinen järjestys mielivaltaisessa ryhmässä on valita siitä ei-negatiivisten lukujen P osajoukko, jolla on yllä luetellut ominaisuudet [P1–P4]. $G$

Olkoon tämä korostettuna. Määritellään lineaarinen järjestys seuraavalla tavalla [5] : $P$ $G$

x \leqslant y

, if (huomaa, että ominaisuus (P3) tarkoittaa, että jos silloin ja vaikka ryhmä ei ole kommutiivinen).

yx\in P

yx\in P,

-x+y\in P,

Tällöin kaikki yllä olevat järjestyksen aksioomat täyttyvät. Mikä tahansa järjestetty ryhmä voidaan muodostaa (järjestämättömästä) kuvatulla menettelyllä [5] .

Absoluuttinen arvo

Määritetään ryhmän elementtien itseisarvo : Tässä funktio valitsee suurimman arvon. $|x|=max(x,-x).$ $max$

Absoluuttisen arvon ominaisuudet [6] :

$|x|=0$ jos ja vain jos $x=0.$
Kaikille ei-nollalle ja vain heille $x$ $|x|>0.$
Vastakkaisten lukujen absoluuttiset arvot ovat samat: $|x|=|-x|.$
Kolmion epätasa-arvo : $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$
$|x|\leqslant y$ on sama kuin $-y\leqslant x\leqslant y.$

Esimerkkejä

Kokonaislukujen , rationaalien tai reaalilukujen summausryhmä tavanomaisessa järjestyksessä.
Positiivisten reaalilukujen kertova ryhmä tavanomaisessa järjestyksessä.
Tarkastellaan todellisten polynomien additiivinen ryhmä, jossa ei-negatiivisten alkioiden joukko määritellään polynomien joukoksi, jossa ensimmäinen nollasta poikkeava kerroin on positiivinen annetussa merkinnässä. Sitten generoitu järjestys määrittelee järjestetyn kommutatiivisen ryhmän [7] . $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.$ $P$
Kaikkien kompleksilukujen additiivinen ryhmässä määritetään ei-negatiivisten alkioiden joukko seuraavasti: jos jompikumpi tai Toisin sanoen kahdesta kompleksiluvusta se, jolla on suurempi reaaliosa, on suurempi, ja jos kyseessä on sattuma , jolla on suurempi kuvitteellinen osa. Sitten generoitu järjestys muuttuu järjestetyksi kommutatiiviseksi ryhmäksi, jolla on ei-arkimedelainen järjestys [8] . Lisäksi siinä esimerkiksi minkä tahansa suuren summa on aina pienempi kuin 1, joten kuvitteellinen yksikkö tässä järjestyksessä näyttää yksikön suhteen äärettömän pieneltä . Kuvattu järjestys on yhdenmukainen reaalilukujen järjestyksen ja kompleksilukujen yhteenlaskun kanssa, mutta ei ole johdonmukainen kertolaskulle: kertomalla epäyhtälöllä, saadaan virheellinen epäyhtälö . On todistettu, että on mahdotonta sovittaa yhteen molempia operaatioita, toisin sanoen tehdä kompleksiluvuista järjestetty kenttä . $G$ $P$ $a+bi\in P,$ $a>0,$ $a=0;b\geqslant 0.$ $G$ $0<i<1,$ $i$ $i$ $i>0,$ $-1>0$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Nechaev, 1975 , s. 85, Lause 5.2.1.
↑ Nechaev, 1975 , s. 87, Lause 5.2.6.
↑ 1 2 3 Kokorin, Kopytov, 1972 , s. 27-28.
↑ 1 2 3 Fuchs, 1965 , s. 25-26.
↑ Bourbaki, 1965 , s. 253-255.
↑ Kokorin, Kopytov, 1972 , s. 13.
↑ Fuchs, 1965 , s. 29.

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät. - M .: Nauka, 1965. - 300 s. .
Kokorin A. I. , Kopytov V. M. Lineaarisesti järjestetyt ryhmät. - M .: Nauka, 1972. - 343 s.
Lineaarisesti järjestetty ryhmä // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 322.
Nechaev V. I. Numeeriset järjestelmät. - M . : Koulutus, 1975. - 199 s.
Fuchs L. Osittain järjestetyt algebralliset järjestelmät. - M . : Mir, 1965. - 343 s.

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos