Darboux-integraali

Darboux-integraali on yksi tavoista yleistää Riemannin integraali mihin tahansa intervalliin rajoitettuun funktioon. On olemassa ylempi ja alempi Darboux-integraali. Darboux-integraalit ovat geometrisesti ylä- ja ala -alueet graafin alla .

Määritelmä

Määrittääksemme Darboux-integraalit, meidän on ensin esitettävä Darboux'n summien apukäsite.

Määritellään segmentille reaalimuuttujan funktio . $[a,b]$ $f$

Segmentin osio on rajallinen joukko pisteitä tämän segmentin, joka sisältää kohdat ja . [1] Muiden merkintöjen helpottamiseksi otamme käyttöön merkinnät. Merkitään osiopisteet muodossa , ja numeroidaan ne nousevassa järjestyksessä (alkaen nollasta): $\tau$ $[a,b]$ $a$ $b$ $\tau$ $x_{i}$

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

Segmentin kaikkien osioiden joukkoa merkitään . $[a;b]$ $T$

Osion osittaista segmenttiä kutsutaan segmentiksi . $\Delta _{i}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Merkitään osion osittaisen segmentin pituus muodossa . $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))

Osion halkaisija on väliseinän osittaisen segmentin enimmäispituus . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

{\displaystyle d=\max \Delta x_{i))

Toiminnon tarkat kasvot osion osissa on merkitty ja . $mi$ $Mi}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Sitten kutsutaan osion funktion alempaa Darboux-summaa $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Ylempää Darboux-summaa kutsutaan $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[3]

Silloin alempi Darboux-integraali on $minä_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Ylempää Darboux-integraalia kutsutaan $minä^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[neljä]

Vaihtoehtoiset määritelmät

Darboux-integraaleille on myös vaihtoehtoisia määritelmiä. Yleensä ne todistetaan ominaisuuksiksi.

Alempi Darboux-integraali on alempien Darboux-summien raja, koska osion halkaisija pyrkii nollaan, ja ylempi on ylempien raja. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Alempi Darboux-integraali on integraalisummien alaraja , koska osion halkaisija pyrkii nollaan, ja ylempi on yläraja. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Ominaisuudet

Properties of Darboux summia

Saman segmentin mielivaltaisille kahdelle osiolle yhden osion alempi Darboux'n summa ei ylitä toisen osion ylempää Darboux'n summaa. [7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

Alempi Darboux'n summa on rajattu ylhäältä ja ylempi summa alhaalta. [neljä]

Kun uusia pisteitä lisätään olemassa olevaan osioon, alempi Darboux'n summa ei voi pienentyä millään tavalla, eikä ylempi ei voi kasvaa millään tavalla. [7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned} }\quad \tau '

- hionta .

\tau

Lisäksi näiden summien muutoksesta voidaan antaa seuraava arvio. Olkoon d halkaisija , tarkennus saadaan lisäämällä enintään pisteet janan funktion tarkat pinnat . Sitten

\tau

\tau '

l

\tau

M

m

f

[a;b]

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Antaa olla kokonaissumma. Kaikille mielivaltaisille osioille, joissa on merkittyjä pisteitä , seuraava epäyhtälö on tosi: $\sigma (f,\tau ,\xi )$ $(\tau ,\xi )$

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

[kahdeksan]

Darboux-summat ovat tietyn osion kokonaissummien tarkat kasvot. [7] Antaa olla joukko kaikki mahdolliset merkittyjä pisteitä osion . Sitten $\Xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

Darboux-integraalien ominaisuudet

Kaikille intervalleille rajatuille funktioille on olemassa Darboux-integraalit ja ne ovat äärellisiä. [9] Ylhäältä rajoittamattomalle funktiolle ylempi integraali on , alhaalta rajoittamattoman funktion alempi integraali on . $+\infty$ $-\infty$
Seuraavat epäyhtälöt pätevät summille ja integraaleille

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

[9]

Darboux'n päälemma. Alempien Darboux-summien raja, koska osion halkaisija pyrkii olemaan nolla, on olemassa mille tahansa rajoitetulle funktiolle ja on yhtä suuri kuin alempi Darboux-integraali. Ylempien Darboux-summien raja on olemassa mille tahansa rajoitetulle funktiolle, koska osion halkaisija pyrkii nollaan ja on yhtä suuri kuin ylempi Darboux-integraali. [5]

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Darboux'n päälemma vahvistaa Darboux'n integraalien ensimmäisen ja toisen määritelmän ekvivalenssin.

Darboux-kriteeri. Riemannin integroitavuus tähän väliin rajatulla funktiolla vastaa ylemmän ja alemman Darboux-integraalin yhtäläisyyttä tällä välillä. $[a;b]$ $f$

f

— Riemann-integroitava [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Muunnelmia ja yleistyksiä

Useita Darboux-integraalia

Analogisesti usean Riemannin integraalin kanssa voidaan määritellä myös moninkertainen Darboux-integraali. Olkoon Jordanin mitattavissa oleva joukko ja sen osio rajallisella määrällä Jordania mitattavia joukkoja. Merkitään tämän osion joukot muodossa . $G$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\oikea\}

Merkitsemme Jordanin mittaa . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

Kaikkien osioiden joukko merkitään . $G$ $T$

Väliseinän halkaisija määritellään väliseinäjoukkojen halkaisijoiden enimmäismääräksi (väliseinäjoukon halkaisija on sen pisteiden välisten etäisyyksien pienin yläraja). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

Toiminnon tarkat pinnat osiojoukoissa on merkitty ja . $mi$ $Mi}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Sitten kutsutaan osion funktion alempaa Darboux-summaa $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Ylempää Darboux-summaa kutsutaan $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[yksitoista]

Silloin alempi Darboux-integraali on $minä_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Ylempää Darboux-integraalia kutsutaan $minä^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

Kaikki yllä olevat Darboux-summien ja Darboux-integraalien ominaisuudet sekä vaihtoehtoiset määritelmät säilyvät. [13]

Muistiinpanot

↑ Iljin, 1985 , s. 330.
↑ Iljin, 1985 , s. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 190.
↑ 1 2 Iljin, 1985 , s. 337.
↑ 1 2 3 Iljin, 1985 , s. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 208.
↑ 1 2 3 Iljin, 1985 , s. 336.
↑ Iljin, 1985 , s. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 191.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 550.

Kirjallisuus

Iljin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Matemaattinen analyysi. Alkukurssi. - 2. painos, tarkistettu .. - M . : MGU, 1985. - 662 s. Kanssa.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Matemaattisen analyysin luentoja: Oppikirja yliopistoille ja ped. yliopistot. - M . : Higher School, 1999. - 695 s. Kanssa. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. 3 osassa. Volume 1. Useiden muuttujien funktioiden differentiaali- ja integraalilaskenta . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Venäjän kieli)

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista