Polynomijuuri

Polynomin juuri (ei identtinen nolla )

a_{0}+a_{1}x+\pisteet +a_{n}x^{n}

kentän päällä on elementti (tai kentän laajennuksen elementti ), joka täyttää seuraavat kaksi vastaavaa ehtoa: $K$ $c\in K$ $K$

annettu polynomi on jaollinen polynomilla ; $xc$
elementin korvaaminen kääntää yhtälön $c$ $x$

a_{0}+a_{1}x+\pisteet +a_{n}x^{n}=0

identiteettiin eli polynomin arvosta tulee nolla.

Kahden muotoilun vastaavuus seuraa Bézoutin lauseesta . Eri lähteissä jompikumpi kahdesta formulaatiosta valitaan määritelmäksi, kun taas toinen päätellään lauseeksi.

Juurella sanotaan olevan kerrannaisluku , jos kyseinen polynomi on jaollinen : llä, mutta ei jaollinen :lla.Esimerkiksi polynomilla on yksi juuri, joka on yhtä suuri kuin monikertaisuus . Ilmaisu "useita juuria" tarkoittaa, että juuren monikertaisuus on suurempi kuin yksi. $c$ $m$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ $x^{2}-2x+1$ $yksi$ $2$

Polynomin sanotaan olevan juuret ottamatta huomioon monikertaisuutta, jos jokainen sen juuri otetaan huomioon laskettaessa kerran. Jos jokainen juuri lasketaan monta kertaa, joka on yhtä suuri kuin sen monikertaisuus, he sanovat, että laskenta suoritetaan ottaen huomioon monikertaisuus . $n$

Ominaisuudet

Moninkertaisen polynomin juurien lukumäärä ei ole pienempi kuin ilman monikertaisuutta.
Astepolynomin juurien määrä ei ylitä , vaikka monijuuret laskettaisiin monikertaisuus huomioiden. $n$ $n$
Jokaisella polynomilla , jolla on kompleksikertoimet , on vähintään yksi kompleksijuuri ( algebran peruslause ). $p(x)$
- Samanlainen väite pätee mihin tahansa algebrallisesti suljettuun kenttään kompleksilukukentän sijaan (määritelmän mukaan).
- Lisäksi polynomi, jolla on todelliset kertoimet, voidaan kirjoittaa muodossa $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

missä - (yleisessä tapauksessa kompleksi) polynomin juuret , mahdollisesti toistoilla, kun taas jos polynomin juurien joukossa on yhtä suuria, niin niiden yhteistä arvoa kutsutaan monijuureksi ja luku on tämän monikerta juuri.

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

Monimutkaisilla astekertoimilla varustetun polynomin kompleksisten juurien lukumäärä , kun otetaan huomioon monikertaisuus, on yhtä suuri kuin . Lisäksi kaikki polynomin puhtaasti kompleksiset juuret (jos niitä on), joilla on todelliset kertoimet, voidaan jakaa saman monikertaisuuden konjugaattipareihin . Siten parillisen asteen polynomilla, jolla on todelliset kertoimet, voi olla monikertaisuus huomioon ottaen vain parillinen määrä reaalijuuria ja parittolla vain pariton luku. $n$ $n$
Polynomin juuret suhteutetaan sen kertoimiin Vieta-kaavojen avulla .

Juurien etsiminen

Menetelmä lineaaristen ja neliöllisten polynomien juurien löytämiseksi yleisessä muodossa, eli menetelmä lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, tunnettiin muinaisessa maailmassa. Kolmannen asteen yleisyhtälön täsmällisen ratkaisun kaavan etsiminen jatkui pitkään, kunnes se kruunasi menestyksen 1500-luvun ensimmäisellä puoliskolla Scipio del Ferron , Niccolo Tartaglian ja Gerolamo Cardanon teoksissa. . Kaavat neliö - ja kuutioyhtälöiden juurille tekivät neljännen asteen yhtälön juurien kaavojen saamisen suhteellisen helpoksi .

Norjalainen matemaatikko Niels Abel todisti vuonna 1826 , että viidennen asteen ja sitä korkeamman yleisen yhtälön juuria ei ilmaista rationaalisilla funktioilla ja kertoimien radikaaleilla (eli yhtälöt eivät ole ratkaistu radikaaleilla ). [1] . Tämä ei suinkaan tarkoita, etteikö tällaisen yhtälön juuria löydy. Ensinnäkin joillekin erityisille kerroinyhdistelmille yhtälön juuret voidaan silti määrittää (katso esimerkiksi käänteisyhtälö ). Toiseksi on olemassa kaavoja 5. asteen ja sitä korkeampien yhtälöiden juurille, joissa käytetään erikoisfunktioita - elliptisiä tai hypergeometrisiä (katso esimerkiksi Bringin juuri ).

Jos kaikki polynomin kertoimet ovat rationaalisia, niin sen juurien löytäminen johtaa kokonaislukukertoimien polynomin juurien löytämiseen. Tällaisten polynomien rationaalisille juurille on olemassa algoritmeja ehdokkaiden löytämiseksi luetteloimalla Hornerin kaavion avulla , ja kun löydetään kokonaislukujuuria, laskentaa voidaan vähentää merkittävästi puhdistamalla juuret. Myös tässä tapauksessa voit käyttää polynomiaalista LLL-algoritmia .

Reaalikertoimien polynomin todellisten juurien likimääräiseen löytämiseen (millä tahansa vaaditulla tarkkuudella) käytetään iteratiivisia menetelmiä , esimerkiksi sekanttimenetelmää , puolittamismenetelmää , Newtonin menetelmää , Lobachevsky-Greffen menetelmää . Polynomin todellisten juurien lukumäärä välissä voidaan määrittää käyttämällä Sturmin lausetta .

Katso myös

Hornerin suunnitelma
Lilyn menetelmä on graafinen menetelmä mielivaltaisen asteen polynomien todellisten juurien löytämiseksi.
Nollatoiminto

Muistiinpanot

↑ Abelin lause ongelmissa ja ratkaisuissa - M.: MTSNMO, 2001. - 192 s. . Haettu 9. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 22. tammikuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Polynomien algebra. - M . : Koulutus, 1980. - 176 s.
Prasolov VV:n polynomit . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .