Elliptinen toiminto

Elliptinen funktio on kompleksisessa analyysissä funktio, joka on jaksollinen kahdessa suunnassa ja on määritelty kompleksitasolla. Elliptisiä funktioita voidaan pitää trigonometristen funktioiden analogeina (joilla on vain yksi piste). Historiallisesti elliptiset funktiot löydettiin elliptisten integraalien käänteisfunktioina .

Määritelmä

Elliptinen funktio on meromorfinen funktio , joka on määritelty alueella , jolla on kaksi nollasta poikkeavaa kompleksilukua ja sellainen, että $f$ $\mathbb {C}$ $a$ $b$

f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,

ja myös osamäärä ei ole reaaliluku. ${\frac {a}{b}}$

Tästä seuraa, että mille tahansa kokonaisluvulle ja $m$ $n$

f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C

Mikä tahansa kompleksiluku sellainen $\omega$

f(z+\omega )=f(z),\quad \forall z\in C,

kutsutaan funktion jaksoksi . Jos pisteet ja ovat sellaisia, että mikä tahansa voidaan kirjoittaa muodossa $f$ $a$ $b$ $\omega$

\omega =ma+nb,

niitä kutsutaan perusjaksoiksi . _ Jokaisella elliptisellä funktiolla on pari perusjaksoa. $a$ $b$

Suuntaviivaa , jonka kärjet ovat , , , kutsutaan perussuunnikalaksi . $\Pi$ $0$ $a$ $b$ ${\näyttötyyli a+b}$

Ominaisuudet

Ei ole olemassa ei- vakiokokoisia elliptisiä funktioita ( Liouvillen ensimmäinen lause ).
Jos elliptisellä funktiolla ei ole napoja suunnikkaan rajalla , niin kaikkien sen sisällä olevien napojen jäännösten summa on nolla (Liouvillen toinen lause). $f(z)$ $\alpha +\pi$ $f(z)$ $\alpha +\pi$
Mikä tahansa elliptinen funktio pisteillä ja voidaan esittää muodossa $a$ $b$ $f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),$

missä h , g ovat rationaalisia funktioita, on Weierstrassin funktio , jolla on samat jaksot kuin y . Jos lisäksi , on parillinen funktio , niin se voidaan esittää muodossa , jossa h on rationaalinen.

\wp (z)

f(z)

f(z)

{\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\iso )))

Elliptiset funktiot eivät ole alkeellisia, tämän todisti Jacobi 1830-luvulla.

Katso myös

Kirjallisuus

Elliptiset funktiot // E. Knapp. Elliptiset käyrät. — M.: Factorial Press, 2004.
Luku 11 // Privalov II Johdatus kompleksisen muuttujan funktioiden teoriaan. - M .: Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden valtion painos, 1960.