Transsendenssin aste

Transsendenssin aste on algebrallisesti riippumattomien elementtien enimmäismäärä kenttälaajennuksessa . Transsendenssin aste mahdollistaa laajenemisen suuruuden mittaamisen.

Määritelmä

Olkoon kentän laajennus kenttään . Harkitse kaikkia mahdollisia algebrallisesti riippumattomia kentän osajoukkoja kentän päällä Tietyn laajennuksen ylitysaste määritellään tällaisten osajoukkojen suurimmaksi kardinaaliudeksi . $L/K$ $K$ $L.$ $L$ $K.$

Yleensä merkitään tai $\mathrm {trdeg} _{K}L$ $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Muistiinpanot

Jos laajennetussa kentässä ei ole algebrallisesti riippumattomia elementtejä , niiden joukko on tyhjä ja transsendenssin aste on nolla. Siten ylitysaste nolla tarkoittaa, että annettu laajennus on algebrallinen . Jos transsendenssin aste ei ole nolla, on olemassa " transsendenttisia " (ei algebrallisia alkuperäisen kentän suhteen) elementtejä. $L$ $L$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Osajoukkoa kutsutaan laajennuksen transsendenssiksi, jos : $S$ $L$ $L/K,$

elementit ovat algebrallisesti riippumattomia $S$ $K;$
kanta on täydellinen, eli se on kentän algebrallinen laajennus, joka saadaan lisäämällä kenttään elementtejä $L$ $K(S),$ $S$ $K.$

Voidaan osoittaa, että mille tahansa kentän laajennukselle on olemassa transsendenssin emäkset ( todistuksessa käytetään valintaaksioomaa ), ja niillä kaikilla on sama kardinaliteetti, joka on yhtä suuri kuin transsendenssin aste. Transsendenssikannat ovat hyödyllinen työkalu erilaisten olemassaololauseiden todistamiseen kenttähomomorfismeista .

Kentän laajennuksen sanotaan olevan puhtaasti transsendenttinen , jos on olemassa algebrallisesti riippumattomien elementtien alajoukko siten, että $L/K$ $L$ $S$ $K$ $K(S)=L.$

Esimerkkejä

Rationaalisten lukujen kentän laajentamiseksi reaalilukujen kenttään transsendenssin aste on jatkumo . Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että algebrallisten lukujen joukko on laskettavissa . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
Muuttujien rationaalisten funktioiden kenttä kentän päällä on puhtaasti transsendenttinen laajennus. $n$ $K(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $K.$ $n,$ $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.$
Kenttä on jatke kenttään , jonka ylitysaste on 1, koska se on algebrallinen luku ja on transsendenttinen . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),\pi )$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt 2}$ $\pi$
Kenttä on myös kentän jatke, sen transsendenssin astetta ei ole määritelty (joko 1 tai 2), koska ei tiedetä, ovatko vakiot ja algebrallisesti riippumattomia. $\mathbb {Q} (\pi ,e)$ $\mathbb {Q} ,$ $\pi$ $e$

Ominaisuudet

Jos meillä on kentän kaksinkertainen laajennus: niin transsendenssin aste on yhtä suuri kuin (joukkoteoreettinen) transsendenssiasteiden summa ja Transsendenssikanta saadaan yhdistämällä transsendenssin kanta $M\supset L\supset K,$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät. Moskova: Nauka, 1965.
Van der Waerden . Algebra. Määritelmät, lauseet, kaavat . - Pietari. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkistoitu4. maaliskuuta 2016Wayback Machinessa
Zarissky O. , Samuel P. Commutative Algebra, Volume 1. M: Foreign Literature, 1963.
Leng S. Algebra. M: Mir, 1967.

Linkit

Kuzmin L. V. Transsendenttinen laajennus