Tavallinen paikallinen rengas

Säännöllinen paikallinen rengas on Noetherin paikallinen rengas siten, että sen maksimiideaalin generaattoreiden lukumäärä on sama kuin Krullin ulottuvuus . Tavallinen nimi selittyy geometrisillä syillä. Algebrallisen muunnelman piste on ei- singulaarinen ( säännöllinen ) silloin ja vain, jos rationaalisten funktioiden paikallinen alkiorengas pisteessä on säännöllinen. $x$ $X$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $x$

Vastaavat määritelmät

Tavalliselle paikalliselle renkaalle on useita hyödyllisiä määritelmiä. Erityisesti, jos on Noetherin paikallinen rengas, jolla on maksimaalinen ideaali , seuraavat määritelmät ovat vastaavia: $A$ $\mathfrak m$

Olkoon paikka, jossa valitaan mahdollisimman pieni (joka tapauksessa n ei voi olla pienempi kuin Krullin ulottuvuus). säännöllisesti jos $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $n$ $A$

\mbox{dim} A = n.

Antaa olla renkaan jäännöskenttä . Sitten säännöllisesti jos $k = A / \mathfrak{m}$ $A$ $A$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Tässä ensimmäinen ulottuvuus on vektoriavaruuden ulottuvuus ja toinen on Krullin ulottuvuus.

Antaa olla globaali ulottuvuus (eli kaikkien -moduulien projektiivisten ulottuvuuksien pääsumma .) Sitten säännöllisesti jos $\mbox{gl dim } A$ $A$ $A$ $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, tässä tapauksessa aina sama kuin Krullin ulottuvuus.

\mbox{gl dim } A

Esimerkkejä

Mikä tahansa kenttä on tavallinen paikallinen rengas. Itse asiassa kentät ovat täsmälleen säännöllisiä paikallisia renkaita, joiden ulottuvuus on 0.
Säännölliset paikalliset renkaat, joiden ulottuvuus on 1, ovat juuri erillisiä arvostusrenkaita . Erityisesti muodollisen potenssisarjan rengas ( k on mielivaltainen kenttä) on säännöllinen paikallinen rengas. Toinen esimerkki on p -adic-lukujen rengas . $k[[x]]$
Yleisemmin muodollinen potenssisarjarengas on säännöllinen paikallinen rengas, jonka ulottuvuus on d . $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$
Jos A on säännöllinen rengas (katso määritelmä alla ), niin polynomien rengas ja muodollisen potenssisarjan rengas ovat säännöllisiä. $Kirves]$ $A[[x]]$
Kaikki tavallisen renkaan lokalisointi on säännöllistä. Esimerkiksi on kaksiulotteinen säännöllinen rengas, joka ei sisällä mitään kenttää. $\mathbb Z[x]_{(2,x)}$
Tavallisen renkaan valmistuminen on säännöllistä.

Ominaisuudet

Auslander-Buchsbaumin lause sanoo, että jokainen tavallinen paikallinen rengas on tekijä.

Jos on täydellinen säännöllinen paikallinen rengas, joka sisältää jonkin kentän, niin $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

missä , ja on Krullin ulottuvuus. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Perusmääritelmien alkuperä

Säännöllisen paikallisrenkaan määritelmän antoi Wolfgang Krull vuonna 1937, [1] mutta niistä tuli kuuluisia Oskar Zariskin [2] [3] ansiosta , joka osoitti, että säännölliset paikallisrenkaat vastaavat algebrallisten lajikkeiden sileitä pisteitä. Olkoon Y algebrallinen muunnelma , joka sisältyy n - ulotteiseen affiiniseen avaruuteen täydellisen kentän yli, joka määritellään polynomien yhteisten nollien joukoksi ( n muuttujassa) f 1 ,…, f m . Y on singulaari pisteessä P , jos Jacobi- matriisin (matriisi (∂ f i /∂ x j )) järjestys tässä pisteessä on pienempi kuin moniston toisessa pisteessä. Moniston ulottuvuus on yhtä suuri kuin erotus n:n ja Jacobin matriisin asteen välillä ei-singulaarisessa pisteessä. Zariski osoitti, että Jacobi-matriisi P on ei-singulaarinen, jos ja vain jos Y : n paikallinen rengas P :ssä on säännöllinen. (Zariski totesi myös, että tämä ei välttämättä pidä paikkaansa epätäydellisten kenttien kohdalla.) Tästä seuraa, että sileys on jakosarjan luontainen ominaisuus, eli se ei riipu jakotukin tietystä upottamisesta affiiniseen tilaan. 1950-luvulla Auslander ja Buchsbaum osoittivat, että tavallinen paikallinen rengas on tekijä.

Monet paikallisten renkaiden ominaisuudet jäivät todistamatta siihen asti, kun vastaavat homologisen algebran tekniikat ilmestyivät . Jean-Pierre Serre löysi kuvauksen säännöllisistä paikallisista renkaista homologisin termein: paikallinen rengas A on säännöllinen, jos ja vain jos sillä on äärellinen globaali ulottuvuus . On helppo todistaa, että globaalin ulottuvuuden äärellisyysominaisuus säilyy lokalisoinnin aikana muuttumattomana. Tämä mahdollistaa säännöllisyyden määrittelemisen kaikille renkaille, ei välttämättä paikallisille: rengasta A kutsutaan säännölliseksi , jos sen lokalisaatio mielivaltaisen alkuideaalin suhteen on säännöllinen paikallinen rengas. Tämä vastaa sanomista, että A :lla on äärellinen globaali ulottuvuus. Erityisesti kaikki Dedekind-sormukset ovat tavallisia.

Muistiinpanot

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z .: 745–766
↑ Zariski, Oscar (1940), Algebralliset lajikkeet maanpinnan kenttien päällä, ominaisuus 0, Amer. J Math. T. 62: 187–221
↑ Zariski, Oscar (1947), Abstraktin algebrallisen muunnelman yksinkertaisen pisteen käsite, Trans. amer. Matematiikka. soc. T. 62: 1–52

Kirjallisuus

Jean-Pierre Serre , paikallinen algebra, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . Luku IV.D.