Modulaarisuuslause

Modulaarisuuslause on matemaattinen lause , joka muodostaa tärkeän suhteen rationaalisten lukujen kentän elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen välille, jotka ovat kompleksisen muuttujan tiettyjä analyyttisiä toimintoja . Vuonna 1995 Andrew Wiles osoitti Richard Taylorin avulla tämän lauseen kaikille puolisoitaville elliptisille käyrälle rationaalisten lukujen kentässä. Todiste lauseen jäljellä olevista (ei-semistoitavista) tapauksista oli Christoph Breuilin työn tulos. , Brian Conrad, Fred Diamondja Richard Taylor. Vuoteen 2001 asti (täydellinen todiste saatiin vuonna 1999 ) lausetta kutsuttiin Taniyama-Shimura-Weil-oletukseksi (tai Taniyama-Shimura-Weil-oletukseksi ).

Modulaarisuuslause on osa Langlandsin ohjelmaa , jonka tarkoituksena on erityisesti löytää automorfisten muotojen tai automorfisten esityksiä (kätevä yleistys modulaariseen muotoon) suhde algebrallisen geometrian yleisempiin objekteihin , kuten elliptisiin käyriin algebrallisen lukukentän päällä. Suurin osa tämän ohjelman hypoteeseista ei ole vielä todistettu.

Sanamuoto

Jos on alkuluku ja on elliptinen käyrä yli ( rationaalilukujen kentän ), niin voimme yksinkertaistaa yhtälöä määrittelemällä modulo ; mille tahansa äärelliselle arvojoukolle voidaan saada elliptinen käyrä äärellisen elementtikentän yli . Esitetään sekvenssi , joka on elliptisen käyrän tärkeä invariantti . Mikä tahansa modulaarinen muoto antaa meille myös numerosarjan ( Fourier-muunnoksen avulla ). Elliptistä käyrää, jonka järjestys on sama kuin modulaarisen muodon, kutsutaan modulaariseksi. $s$ $E$ $\mathbb {Q}$ $E$ $s$ $s$ $F_{p}$ $n_{p}$ $a_{p}=n_{p}-p$ $E$

Modulaarisuuslause sanoo, että kaikki elliptiset käyrät ovat modulaarisia. $\mathbb {Q}$

Historia

Yutaka Taniyama esitti tämän väitteen hypoteesina ensimmäisen kerran syyskuussa 1955 . Yhdessä Goro Shimuran kanssa hän tarkensi sanamuotoa hieman vuonna 1957 , mutta ei voinut jatkaa psykologisten ongelmien vuoksi [1] [2] .

1960 -luvulla hypoteesi sisällytettiin Langlandsin matemaattisten hypoteesien yhdistämisohjelmaan. Ranskalainen Andre Weil muisti hypoteesin 1970-luvulla ja aloitti aktiivisen tutkimuksensa , joten tätä hypoteesia kutsutaan usein Taniyama-Shimura-Weil-hypoteesiksi .

Hypoteesi kiinnostui laajalti vasta, kun vuonna 1985 Gerhard Freiehdotti, että Taniyama-Shimura-oletus (silloin sitä kutsuttiin sellaiseksi) on Fermatin viimeisen lauseen yleistys , koska mikä tahansa vastaesimerkki Fermatin viimeiselle lauseelle johtaisi lopulta ei-modulaariseen elliptiseen käyrään. Vuonna 1986 Ken Ribettodisti tämän oletuksen. Vuonna 1995 Andrew Wiles ja Richard Taylor osoittivat erikoistapauksen Taniyama-Shimura-lauseesta ( puolittain muotoutuvien elliptisten käyrien tapaus), mikä riitti todistamaan Fermatin viimeisen lauseen [3] .

Modulaarisuuslause todistettiin täysin vuonna 1999 Christoph Breuilin työn tuloksena, Brian Conrad, Fred Diamondja Richard Taylor , joka Wilesin työn pohjalta todisti jäljellä olevat (ei-puolivakaat) tapaukset.

Muut lukuteorian lauseet seuraavat modulaarisuuslauseesta, joka on samanlainen kuin Fermatin viimeinen lause. Esimerkiksi "luvun kuutiota ei voida kirjoittaa kahden alkuluvun summana, jotka ovat luonnollisen luvun -:s potenssi, jos " [4] . $n$ $n\geqslant 3$

Maaliskuussa 1996 Wiles sai Wolf-palkinnon yhdessä Robert Langlandsin kanssa . Vaikka yksikään niistä ei täysin todistanut lausetta, väitettiin niiden antavan merkittävän panoksen, mikä helpotti suuresti lisätodistusta [5] .

Muistiinpanot

↑ Stewart, 2016 , s. 196.
↑ Taniyama teki itsemurhan vuonna 1958 jättäen varsin salaperäisen muistiinpanon. Noin kuukautta myöhemmin hänen kihlattunsa Misako Suzuki teki itsemurhan jättäen lapin, jossa sanottiin, että hänen pitäisi tavata kihlattunsa.
↑ Soloviev Yu.P. Taniyaman arvelu ja Fermatin viimeinen lause (neopr.) // Soros Educational Journal. - 1998. - helmikuuta. - S. 135-138 .
↑ Tapaus oli tiedossa jopa Eulerille ja itse Fermatille. $n = 3$ $n = 4$
↑ Stewart, 2016 , s. 200.

Linkit

Darmon, Henry. Todiste täydellisestä Shimura-Taniyama-Weilin arvelusta on julkaistu, Notices of the American Mathematical Society, Voi. 46 (1999), nro. 11. Sisältää johdannon lauseeseen ja katsauksen sen todisteeseen.
Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor. Tiettyjen mahdollisesti Barsotti-Tate Galois -esitysten modulaarisuus , Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521-567. Lauseen todistus on annettu.

Kirjallisuus

Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2016. — 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .