Abelin lause yhtälöiden ratkaisemattomuudesta radikaaleissa

Abel-Ruffinin lauseessa sanotaan, että yleinen algebrallinen asteyhtälö on ratkaisematon radikaaleissa [1] . $n\geqslant 5$

Tiedot

Galois'n teoria kuvaa polynomien juurien permutaatioryhmää . Lauseen moderni todistus perustuu seuraaviin kahteen tosiasiaan:

Kun polynomin aste on suurempi tai yhtä suuri kuin 5 , polynomin Galois-ryhmä on permutaatioryhmä [2] . $n$ $S_{n}$
Kun permutaatioryhmä ei ole ratkaistavissa [3] . $n\geqslant 5$ $S_{n}$

On helppo nähdä, että merkittävä osa todistuksesta on "piilossa" Galois'n teoriassa.

Abel-Ruffinin lause ei väitä , että asteen at yleisyhtälöllä ei olisi ratkaisua. Jos monimutkaiset ratkaisut sallitaan , niin algebran peruslause takaa ratkaisujen olemassaolon. Abel-Ruffinin lauseen ydin tiivistyy siihen tosiasiaan, että mielivaltaisille yhtälöille, joiden aste on suurempi kuin neljäs, on mahdotonta osoittaa ratkaisulle eksplisiittistä kaavaa , toisin sanoen kaavaa, joka määrittelee kaikki mahdolliset ratkaisut ja sisältää vain aritmeettisia operaatioita ja mielivaltaisen asteen juuret . $n$ $n\geqslant 5$

Tällaisten yhtälöiden ratkaisut voidaan saada millä tahansa halutulla tarkkuudella käyttämällä numeerisia menetelmiä , kuten Newtonin menetelmää .

Lisäksi joidenkin korkeamman asteen yhtälöiden juuret voidaan ilmaista radikaaleilla. Esimerkiksi yhtälöllä on juuri . $x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0$ $x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[ {5}]{16}}$

Vaikka kvintinen yhtälö on ratkaisematon radikaaleissa, sen juurille on kaavoja, jotka käyttävät theta-funktioita .

Eksplisiittiset kaavat potenssien alle 5

Yhtälöille, joiden aste on pienempi kuin viides, voit määrittää eksplisiittisen ratkaisukaavan. Tätä tosiasiaa voidaan pitää "toisena osana" tai "käänteisenä" Abel-Ruffinin lauseena. Vaikka tämä väite ei seuraa Abel-Ruffinin lauseesta, se on totta: katso Cardanon kaavat (kolmannen asteen yhtälöt) ja Ferrarin (neljännen asteen yhtälöt) [4] .

Historia

Lauseen ensimmäinen todistus julkaisi vuonna 1799 Ruffinin toimesta . Todistuksessa oli useita epätarkkuuksia. Vuonna 1824 Abel julkaisi täydellisen todisteen .

Heidän todisteensa perustuivat Lagrangen ideoihin muuttaa yhtälön juuret. Myöhemmin nämä ideat kehitettiin Galois'n teoriassa , joka mahdollisti nykyaikaisten todisteiden laatimisen ja toimi lähtökohtana abstraktin algebran kehittämisessä .

Ratkaistavat yhtälötyypit

Vaikka lause sanoo, että yhtälöillä ei ole yleistä kaavaa ratkaistavaksi, tietyntyyppiset korkean asteen yhtälöt sallivat tarkat ratkaisut. Heidän keskuudessaan:

Katso myös

Galois'n teoria
Bringa Root
Lilyn menetelmä on graafinen menetelmä mielivaltaisen asteen polynomien todellisten juurien löytämiseksi.
Algebrallisen yhtälön ratkaisu
Kuudennen asteen yhtälö

Muistiinpanot

↑ Alekseev, 2001 , s. 112.
↑ Alekseev, 2001 , s. 187.
↑ Alekseev, 2001 , s. viisikymmentä.
↑ Alekseev, 2001 , s. 9-12.

Kirjallisuus

Alekseev, V. B. Abelin lause ongelmista ja ratkaisuista. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 s. -ISBN 5-900916-86-3. (Venäjän kieli)
Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Mathematical divertissement. Luento 5. - MTSNMO, 2011. - 512 s. -ISBN 978-5-94057-731-7. (Venäjän kieli)
Bosch, S. Algebra (saksa) . — 6. Auflage. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
Dehn, E. Algebralliset yhtälöt: Johdatus Lagrangen ja Galoisin teorioihin (englanniksi) . - New York: Columbia University Press , 1930.
Fraleigh, JB Abstraktin algebranensimmäinen kurssi . – Seitsemäs painos. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
Stewart , I. Galois Theory . - Toinen painos. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Linkit

Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Galois's Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
David Terr & Eric W. Weisstein. Galois Group (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Solvable Group (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .