Symmetrinen ryhmä

Symmetrinen ryhmä - ryhmä kaikista tietyn joukon permutaatioista (eli bijektioista ) kokoonpanooperaation suhteen . $X$ $X\X:ksi$

Joukon symmetrinen ryhmä on yleensä merkitty . Jos , niin on myös merkitty . Koska samantehoisten joukkojen ( ) permutaatioryhmät ( ) ovat myös isomorfisia , niin äärellisen kertaluvun ryhmän permutaatioryhmä tunnistetaan . $X$ $S(X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S(X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $n$ $S_{n}$

Symmetrisen ryhmän neutraali elementti on identiteettipermutaatio . $\mathrm {id} (x)=x$

Permutaatioryhmät

Vaikka yleensä permutaatioryhmä (tai permutaatiot) viittaa itse symmetriseen ryhmään, joskus, erityisesti englanninkielisessä kirjallisuudessa, symmetrisen ryhmän [1] alaryhmiä kutsutaan joukon permutaatioryhmiksi . Tässä tapauksessa ryhmän astetta kutsutaan kardinaalisuudeksi . $X$ $S(X)$ $X$

Jokainen äärellinen ryhmä on isomorfinen jollekin ryhmän alaryhmälle ( Cayleyn lause ). $G$ $S(G)$

Ominaisuudet

Symmetrisen ryhmän alkioiden lukumäärä äärelliselle joukolle on yhtä suuri kuin elementtien permutaatioiden lukumäärä , eli tehokerroin : . Sillä , symmetrinen ryhmä ei ole kommutatiivinen. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

Symmetrinen ryhmä hyväksyy seuraavan tehtävän : $S_{n}$

\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ |ij| >1\rangle

Voimme olettaa, että se muuttaa ja . Ryhmäelementtien enimmäisjärjestys on Landau- funktio . $\sigma_i$ $i$ $i+1$ $S_{n}$

Ryhmät ovat ratkaistavissa , kun taas symmetrinen ryhmä on ratkaisematon . ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n\geqslant 5$ $S_{n}$

Symmetrinen ryhmä on täydellinen (eli konjugaatiomappaus on isomorfismi) jos ja vain jos sen järjestys on eri kuin 2 ja 6 ( Hölderin lause ). Siinä tapauksessa, että ryhmällä on vielä yksi ulompi automorfismi . Tämän ja edellisen ominaisuuden ansiosta kaikki automorfismit ovat sisäisiä, eli jokaisella automorfismilla on muoto joillekin . $n = 6$ $S_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alpha(x)$ $g^{-1}xg$ $g\in S_n$

Symmetrisen ryhmän konjugaattielementtien luokkien lukumäärä on yhtä suuri kuin luvun [2] osioiden lukumäärä . Transpositioiden joukko on generointijoukko . Toisaalta kaikki nämä transpositiot generoidaan vain kahdella permutaatiolla , joten symmetrisen ryhmän generaattoreiden vähimmäismäärä on kaksi. $S_{n}$ $n$ $(12),(23),...,(n-1 \ n)$ $S_{n}$ $(12), (12...n)$

Symmetrisen ryhmän keskus on triviaali . Kommutaattori on vaihtuva ryhmä ; lisäksi at on ainoa ei-triviaali normaalialaryhmä , ja sillä on vielä yksi normaali alaryhmä - Kleinin nelinkertainen ryhmä . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $A_{n}$ $n\neq 4$ $A_{n}$ $S_{n}$ $S_4$

Näkymät

Mitä tahansa permutaatioryhmän aliryhmää voidaan esittää matriisiryhmällä , ja jokainen permutaatio vastaa permutaatiomatriisia (matriisi, jossa kaikki solujen elementit ovat yhtä suuria kuin 1 ja muut elementit ovat yhtä suuria kuin nolla); esimerkiksi permutaatiota edustaa seuraava matriisi : $G$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\to\pi (i)$ $(i,\pi(i))$ $(231)$ $3 kertaa 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Tällaisen ryhmän aliryhmä, joka koostuu matriiseista, joiden determinantti on 1, on isomorfinen vuorottelevan ryhmän kanssa . $A_{n}$

Symmetrisistä ryhmistä on muitakin esityksiä, esimerkiksi dodekaedrin symmetriaryhmä (joka koostuu kierroksista ja heijastuksista) on isomorfinen , kun taas kuution rotaatioryhmä on isomorfinen . $S_5$ $S_4$

Muistiinpanot

↑ Aigner M. Kombinatorinen teoria. M.: Mir, 1982. - 561 s.
↑ OEIS - sekvenssi A000041 _

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - M .: Factorial-Press, 2001.
Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Ryhmäteorian perusteet. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Osa III. Perusrakenteet. - M. Publishing House = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. Ryhmien teoria. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1967.
Postnikov M. M. Galois'n teoria. - M .: Fizmatlit, 1963.