Weyl tensori

Weilin kaarevuustensori on Riemannin kaarevuustensorin nollajälkiosa . Toisin sanoen se on tensori, joka täyttää kaikki Riemannin tensorin symmetriaominaisuudet sillä lisäehdolla, että siitä muodostettu Ricci-tensori on yhtä suuri kuin nolla.

Nimetty Hermann Weylin mukaan .

Määritelmä

Weyl-tensori voidaan saada kaarevuustensorista vähentämällä siitä tietyt Ricci-tensorin ja skalaarikaarevuuden yhdistelmät. Weyl-tensorin kaava kirjoitetaan helpoimmin Riemannin tensorilla valenssitensorin (0.4) muodossa:

W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n- 1)}}g\circ g

missä n on moniston mitta, g on metriikka , R on Riemannin tensori, Ric on Ricci-tensori, s on skalaarikaarevuus ja h O k on niin kutsuttu Kulkarni-Nomizu-tulo , kahden tulo symmetriset valenssitensorit (0,2) on valenssitensori (0,4), joka täyttää kaarevuustensorin symmetriat:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3 })-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1}, v_{4}).$

Komponenteissa Weyl-tensori saadaan seuraavasti:

W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c }}R_{{d]a)))+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}

missä on Riemannin tensori, on Ricci-tensori, on skalaarikaarevuus ja [] tarkoittaa antisymmetrisaatiooperaatiota. $R_{abcd}$ $R_{{ab}}$ $R$

Ominaisuudet

Weil-tensorilla voi olla ei-triviaali muoto vain tiloissa, joissa on vähintään neljä ulottuvuutta. Kaksi- ja kolmiulotteisissa tiloissa Weyl-tensorit ovat identtisesti nolla.

Weyl-tensori pysyy invariantina metriikan konformaalisissa muunnoksissa . Eli jos annetulle metriikalle g otamme käyttöön uuden metriikan jollakin funktiolla , niin (1,3)-valenssi Weyl-tensori ei muutu: . Tästä syystä Weyl-tensoria kutsutaan myös konformiseksi tensoriksi . Tästä ominaisuudesta seuraa, että ${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$ $\Omega$ ${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$
- jotta monisto olisi konformisesti euklidinen , sen Weyl-tensorin on oltava nolla.
- Mitoille ≥ 4 tämä ehto riittää myös .
- Mittasuhteiltaan 3 oleville tiloille välttämätön ja riittävä ehto ollakseen yhdenmukaisia euklidisia on, että puuvillatensori katoaa .

Weyl tensori

Määritelmä

Ominaisuudet

Katso myös