Lineaarinen murtofunktio

Lineaarinen murto-osafunktio on numeerinen funktio , joka voidaan esittää murtolukuna, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat lineaarisia funktioita .

Lineaarinen murtolukufunktio, joka yleensä kartoittaa moniulotteisen numeerisen avaruuden yksiulotteiseksi numeeriseksi avaruuteen, on tärkeä erikoistapaus:

sekä todellisessa että kompleksisessa avaruudessa - rationaalinen funktio , joka yleensä kuvaa yksiulotteisen numeerisen avaruuden itseensä käyttämällä mielivaltaisen asteen yhden muuttujan polynomeja ; $n = 1$
sillä kompleksisessa avaruudessa murto-lineaarinen muunnos , joka yleensä kartoittaa moniulotteisen kompleksisen avaruuden itseensä; $n = 1$
kun kompleksissa ja kun todellisessa avaruudessa, käänteinen suhteessa ympyröihin , - Möbius-muunnokset . $n = 1$ $n = 2$

Muodollinen määritelmä

Lineaarinen murto -osafunktio on muodon numeerinen funktio

\mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1 }u_{1}+a_{2}u_{2}+\cpisteet +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cpisteet +c_{n}u_{n}+d}},

missä ovat kompleksiluvut ( ) tai reaaliluvut ( ), ovat vastaavasti kompleksisia tai reaalimuuttujia, ovat vastaavasti kompleksisia tai reaalikertoimia, $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $u_1, u_2, \pisteet, u_n$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ ${\näyttötyyli b,d}$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Yleistys kvaternioneihin on mahdollista [2] .

Degeneroituneet tapaukset [1] :

|c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,

silloin lineaarinen murto-osafunktiosta tulee koko lineaarinen funktio ;

jos matriisin sijoitus

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ end{array}}\right)

on yhtä suuri kuin yksi, silloin lineaarinen murto-osafunktio muuttuu vakioksi .

Oikealle (ei-degeneroituneelle) lineaariselle murto-osafunktiolle [1] :

$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;$
yhtä suuri kuin kaksi matriisiarvoa

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ end{array}}\right).

Todellinen murto-osa lineaarifunktio

Todellinen murto-osalineaarifunktio on muodon numeerinen funktio

\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1 }x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},

missä ovat todelliset luvut, ovat todelliset muuttujat, ovat reaalikertoimet, $\mathbb {R}$ $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ ${\näyttötyyli b,d}$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Yhden muuttujan funktio

Yksinkertaisimmassa tapauksessa ja tosi $n = 1$

x_{1}=x,

a_{1}=a,

b,

c_{1}=c,

d

kaavio lineaarisesta murto-osafunktiosta - tasakylkinen hyperbola asymptootteilla

x=-d/c

y=a/c,

yhdensuuntainen koordinaattiakselien kanssa: [1] .

Hyperbolan asymptootit

Olkoon yhden muuttujan lineaarinen murto-osafunktio

y={\frac {ax+b}{cx+d))

on redusoitumaton, eli , eikä sitä voida pelkistää kokonaiseksi lineaarifunktioksi, eli . Valitsemme murtoluvun kokonaislukuosan ja poistamme kertoimen kohdassa [3] : $ad-bc\neq 0$ $c\neq 0$ $x$

y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}={\frac { {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c ^{2}}}\oikea)}{x+{\frac {d}{c}}}}=

={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}.

Nyt on selvää, että funktiograafi saadaan graafista seuraavilla alkeismuunnoksilla: ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\frac {1}{x}}$

venytysajat akselia pitkin ja akselin ympäri tapahtuvan heijastuksen tapauksessa ; $\left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|$ $Oy$ $ad-bc>0$ $Härkä$
liikkuu yhdensuuntaisesti akselin kanssa ; $Härkä$ $-{\frac {d}{c))$
liikkuu yhdensuuntaisesti akselin kanssa . $Oy$ ${\frac {a}{c}}$

Siten yhden muuttujan lineaarinen murto-osafunktio on tavallinen toisen kertaluvun hyperboli, suorat ja ovat hyperbolin asymptootit , jotka ovat keskenään kohtisuorassa ja koordinaattiakseleiden suuntaisia, sekä asymptootien leikkauspiste , joka ei kuulu käyrälle, on sen keskipiste [3] . ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ $x=-{\frac {d}{c))$ $y={\frac {a}{c}}$ $\left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\oikea)$

On myös selvää, että yhden muuttujan lineaarinen murto-osafunktio [3] : ${\frac {ax+b}{cx+d}}$

"menettää merkityksensä", eli sillä ei ole merkitystä, lakkaa olemasta "olemassa" kohdassa ; $x=-{\frac {d}{c))$
välein ja funktio kasvaa kaikkialla kuten ja pienenee kaikkialla kuin ; $\left(-\infty ,-{\frac {d}{c))\right)$ $\left(-{\frac {d}{c)),+\infty \oikea)$ $ad-bc>0$ $ad-bc<0$
funktion arvon rajoittamattomalla lisäyksellä ne lähestyvät loputtomasti arvoa , mikä näkyy myös muunnoksesta $|x|$ ${\frac {a}{c}}$

{\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.

Johdannainen

\left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))))\oikea) ' ={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))^{2}}}.

Epämääräinen integraali :

\int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})))\oikea )dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right| +C.

Hyperbolin kanoninen yhtälö

Ensin annamme funktion

y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}}

koordinoi muunnokset muotoon

y'={\frac {m}{x'}}.

Tätä varten teemme seuraavat vaihdot:

x'=x+{\frac {d}{c)),

y'=y-{\frac {a}{c)),

m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},

saamme funktion vaaditun muodon [4] .

Kierretään nyt koordinaattiakseleita kulman verran muuttamalla koordinaatteja $45^{\circ },$

x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt { 2}}},

y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt { 2}}},

saamme uudet koordinaatit [4] :

x'y'=m,

{\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,

{\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.

Viimeinen yhtälö on kanoninen yhtälö tasasivuisesta hyperbolista puoliakselien kanssa [4] $a=b={\sqrt {2|m|}}.$

Kahden muuttujan funktio

Kun kyseessä on ja todellinen, lineaarinen murto-osafunktion kuvaaja $n = 2$ $x_{1},$ $x_{2},$ $a_{1},$ $a_{2},$ $b,$ $c_{1},$ $c_{2},$ $d$

y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d} }

on hyperbolinen paraboloidi [1] .

Monimutkainen lineaarinen murtolukufunktio

Monimutkainen lineaarinen murto-osafunktio on muodon numeerinen funktio

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cpisteet +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cpisteet +c_{n}z_{n}+d}},

missä ovat kompleksiluvut , ovat kompleksimuuttujat, ovat kompleksikertoimia, $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n))$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ ${\näyttötyyli b,d}$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Monimutkaiselle lineaariselle murtofunktiolle $n = 1$

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d))

—

yhden kompleksisen muuttujan analyyttinen funktio kaikkialla laajennetussa kompleksitasossa , paitsi pisteessä, jossa kompleksisella lineaari- murto-osafunktiolla on yksinkertainen napa [1] . ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $z=-d/c$

Monimutkaiselle lineaariselle murtofunktiolle $n\geqslant 1$

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cpisteet +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cpisteet +c_{n}z_{n}+d}},

—

meromorfinen funktio kompleksisten muuttujien avaruudessa , jolla on polaarinen joukko ${\mathbb C}^{n}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n))$

\{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d= 0\}

[1] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Encyclopedia of Mathematics , osa 2, 1979 , st. 384.
↑ Alan F. Beardon. Diskreettien ryhmien geometria, 1983 , s. 56.
↑ 1 2 3 Encyclopedia of Elementary Mathematics . Kolmas kirja, 1952 , s. 56-57.
↑ 1 2 3 Efimov N. V. Analyyttisen geometrian lyhyt kurssi, 2005 , 119, s. 120.

Kirjallisuus

Efimov N. V. Analyyttisen geometrian lyhyt kurssi: Uchebn. korvaus. 13. painos, stereo. M.: FIZMATLIT, 2005. 238 s., ill. ISBN 5-9221-0252-4 .
Matemaattinen tietosanakirja : Ch. toim. I. M. Vinogradov , osa 2 D-Koo. M .: "Soviet Encyclopedia", 1979. 1104 jne., Ill.
Alkeismatematiikan tietosanakirja . Kirja kolme. Funktiot ja rajat (analyysin perusteet) / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich ja A. Ya. Khinchin . M., L.: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustanta, 1952. 559 s., ill.
Alan F. Beardon. Diskreettien ryhmien geometria. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 s., 93 ill.