Ensimmäinen integraali

Tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmän ensimmäinen integraali

\left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\pisteet &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\ end{matrix}}\right.,\quad x\in U

on differentioituva funktio , niin että sen derivaatta suhteessa vektorikentän suuntaan $f:U\to {\mathbb R}$ $U\subseteq {\mathbb R}^{n}$ $A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))$

L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\pistes +a_{n}(x){\frac {\partial f}{ \osittainen x_{n}}}=0

kaikille alueelta . Toisin sanoen funktio on vakio kaikissa toimialueen sisältämissä järjestelmän ratkaisuissa . $x$ $U$ $f$ $U$

Ensimmäisiä integraaleja käytetään tutkittaessa autonomisia differentiaaliyhtälöjärjestelmiä ja ratkaistaessa osittaisdifferentiaaliyhtälöitä.

Antaa olla verkkotunnus , olla differentioituva vektorikenttä , , . Sitten on olemassa pisteen naapuruus, joka on sellainen, että differentiaaliyhtälöjärjestelmä $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))$ $U$ $x_{0}\in U$ $A(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$

\left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\pisteet &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\ end{matrix}}\right.

on täsmälleen toiminnallisesti itsenäiset ensimmäiset integraalit tässä naapurustossa . $n-1$

Esimerkkejä

Yhtälössä suhteessa funktioon ensimmäinen integraali on funktio (kokonaisenergia fyysisissä sovelluksissa). $x''+V(x)=0$ $x(t)$ $E={\frac 12}x'^{2}+\int \limits _{{x_{0}}}^{x}V(z)dz$

Kirjallisuus

V. I. Arnold, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. M .: Nauka, 1966.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen