Normaalijakauma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Normaalijakauma
Vihreä viiva vastaa normaalia normaalijakaumaaTodennäköisyystiheys
Tämän kaavion värit vastaavat yllä olevaa taulukkoa.jakelutoiminto
Nimitys	$N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)$
Vaihtoehdot	μ - siirtokerroin ( todellinen ) σ > 0 - skaalauskerroin (todellinen, ehdottomasti positiivinen)
Kuljettaja	$x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$
Todennäköisyystiheys	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)) {2\sigma ^{2}}}\oikea)$
jakelutoiminto	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\right)\ oikea]$
Odotettu arvo	$\mu$
Mediaani	$\mu$
Muoti	$\mu$
Dispersio	$\sigma ^{2}$
Epäsymmetriakerroin	$0$
Kurtoosikerroin	$0$
Differentiaalinen entropia	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$
Hetkien funktion luominen	$M_{X}\left(t\right)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\oikea)$
ominaista toimintoa	$\phi _{X}\left(t\right)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right )$

Normaalijakauma [1] [2] , jota kutsutaan myös Gaussin tai Gauss - Laplacen jakaumaksi [3] , on todennäköisyysjakauma , joka yksiulotteisessa tapauksessa annetaan todennäköisyystiheysfunktiolla , joka on sama kuin Gaussin funktio :

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

, jossa parametri on matemaattinen odotus (keskiarvo), mediaani ja jakautumismoodi ja parametri on keskihajonta , on jakauman varianssi .

\mu

\sigma

\sigma ^{2}

Näin ollen yksiulotteinen normaalijakauma on kaksiparametrinen jakaumien perhe, joka kuuluu jakaumien eksponentiaaliseen luokkaan [4] . Monimuuttujatapaus on kuvattu artikkelissa " Monimuuttuja normaalijakauma ".

Normaali normaalijakauma on normaalijakauma, jossa on keskiarvo ja keskihajonta $\mu=0$ $\sigma =1.$

Yleistä tietoa

Jos määrä on summa useista satunnaisista heikosti toisistaan riippuvaisista suureista, joista jokainen antaa pienen panoksen suhteessa kokonaissummaan, niin tällaisen suuren keskitetty ja normalisoitu jakauma pyrkii normaalijakaumaan , jossa on riittävän suuri määrä termejä .

Tämä seuraa todennäköisyysteorian keskeisestä rajalauseesta . Ympäröivässä maailmassa on usein määriä, joiden arvo määräytyy monien riippumattomien tekijöiden yhdistelmästä. Tämä tosiasia, samoin kuin se, että jakaumaa pidettiin tyypillisenä, tavallisena, johti siihen, että 1800-luvun lopulla alettiin käyttää termiä "normaalijakauma". Normaalijakaumalla on merkittävä rooli monilla tieteenaloilla, kuten matemaattisessa tilastotiedossa ja tilastollisessa fysiikassa .

Satunnaismuuttujaa, jolla on normaalijakauma, kutsutaan normaaliksi eli Gaussin satunnaismuuttujaksi.

Määritelmät

Normaali normaalijakauma

Normaalijakauman yksinkertaisin tapaus - standardi normaalijakauma - on erikoistapaus, kun ja Sen todennäköisyystiheys on: $\mu=0$ $\sigma =1.$

\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.

Lausekkeen tekijä tarjoaa ehdon integraalin normalisoinnille [5] . Koska eksponentin tekijä antaa dispersion, joka on yhtä suuri kuin yksi, niin keskihajonta on yhtä suuri kuin 1. Funktio on symmetrinen pisteessä , sen arvo siinä on maksimi ja yhtä suuri kuin funktion käännepisteet : ja ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi ))))$ $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\,dx=1$ ${\frac {1}{2))$ $x=0,$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.$ $x=+1$ $x=-1.$

Gauss kutsui normaalia normaalijakaumaa, jossa tämä on: $\sigma ^{2}=1/2,$

\varphi (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Normaalijakauma parametreilla $\mu ,\sigma$

Jokainen normaalijakauma on muunnelma normaalista normaalijakaumasta, jonka aluetta venytetään kertoimella (keskihajonta) ja siirretään (odotus): $\sigma$ $\mu$

f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\ oikein).

$\mu ,\sigma$ ovat normaalijakauman parametreja. Todennäköisyystiheys on normalisoitava siten, että integraali on yhtä suuri kuin 1. ${\frac {1}{\sigma )),$

Jos on tavallinen normaali satunnaismuuttuja, niin arvolla on normaalijakauma matemaattisella odotuksella ja keskihajonnan kanssa.Päinvastoin, jos on normaalimuuttuja parametreineen ja sitten sillä on standardi normaalijakauma. $Z$ $X=\sigma Z+\mu$ $\mu$ $\sigma.$ $X$ $\mu$ $\sigma ^{2},$ $Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

Jos avaamme hakasulkeet todennäköisyystiheyseksponentissa ja otamme huomioon sen , niin: $1=\ln e$

f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}=e^{-{\frac {1}{2}}\left(2\ln \sigma +\ln 2\pi +\left( {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{ 2}}{\sigma ^{2}}}-2{\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}+2\ln \sigma +\ln 2\pi +{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)}.

Siten kunkin normaalijakauman todennäköisyystiheys on neliöfunktion eksponentti :

f(x)=e^{ax^{2}+bx+c},

missä

a=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}},\ b={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\ c=-\left( \ln \sigma +{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}} }\oikea).

Tästä eteenpäin voidaan ilmaista keskiarvo muodossa a ja varianssi muodossa Standardin normaalijakauman ja $\mu =-{\frac {b}{2a)),$ $\sigma ^{2}=-{\frac {1}{2a)).$ $a=-1/2,$ $b = 0$ $c=-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi .$

Nimitys

Normaalin normaalijakauman (nollakeskiarvolla ja yksikkövarianssilla) todennäköisyystiheyttä merkitään usein kreikkalaisella kirjaimella ( phi ) [6] . Vaihtoehtoinen muoto kreikkalaisesta kirjaimesta phi on myös melko yleisesti käytössä . $\phi$ $\varphi$

Normaalijakaumaa merkitään usein tai [7] . Jos satunnaismuuttuja jakautuu normaalin lain mukaan keskiarvon ja vaihtelun kanssa, kirjoitetaan: $N(\mu ,\sigma ^{2}),$ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $X$ $\mu$ $\sigma ^{2},$

X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).

Jakelufunktio

Normaalin normaalijakauman jakaumafunktio merkitään yleensä isolla kreikkalaisella kirjaimella ( phi ) ja se on integraali: $\Phi$

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2 }\,dt.

Virhefunktio (todennäköisyysintegraali) liittyy siihen, mikä antaa todennäköisyyden, että normaali satunnaismuuttuja, jonka keskiarvo on 0 ja vaihtelu 1/2, putoaa segmenttiin : $\operaattorin nimi {erf} (x),$ ${\näyttötyyli [-x,x]}$

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\ ,dt.

Näitä integraaleja ei ilmaista alkeisfunktioina ja niitä kutsutaan erikoisfunktioiksi . Monet niiden numeerisista likiarvoista ovat tiedossa. Katso alla .

Toiminnot liittyvät erityisesti suhteeseen:

\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operaattorinimi {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\oikea)\ oikea]

Normaalijakaumalla, jossa on tiheyskeskiarvo ja varianssi , on seuraava jakautumisfunktio: $f,$ $\mu$ $\sigma$

F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operaattorinimi {erf } \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2))))\right)\right].

Voit käyttää funktiota - se antaa todennäköisyyden, että normaalin normaalin satunnaismuuttujan arvo ylittää : $Q(x)=1-\Phi (x)$ $X$ $x$

P(X>x)

Standardin normaalijakaumafunktion kuvaajalla on 2-kertainen rotaatiosymmetria pisteen (0; 1/2) suhteen, eli sen määrittelemätön integraali on: $\Phi$ $\Phi (-x)=1-\Phi (x).$

\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.

Normaalin normaalin satunnaismuuttujan jakaumafunktiota voidaan laajentaa käyttämällä integrointimenetelmää osilla sarjassa:

\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2} \left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1 }}{(2n+1)!!}}+\cdots \right],

jossa merkki tarkoittaa kaksoistekijää . ${\näyttötyyli!!}$

Jakaumafunktion asymptoottinen laajentaminen suurille arvoille voidaan tehdä myös integroimalla osittain. $x$

Keskihajonta

Noin 68 % normaalijakauman arvoista on enintään yhden keskihajonnan σ etäisyydellä keskiarvosta; noin 95% arvoista on enintään kahden standardipoikkeaman etäisyydellä; ja 99,7 % enintään kolme. Tämä tosiasia on 3 sigman säännön erikoistapaus normaalille näytteelle.

Tarkemmin sanottuna todennäköisyys saada normaali luku välillä ja on: $\mu -n\sigma$ $\mu +n\sigma$

F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=

\Phi (n)-\Phi (-n)=\operaattorinimi {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2))}\right).

12 merkitsevän numeron tarkkuudella arvot on annettu taulukossa [8] : $n=1,2,\ldots ,6$

n

p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )

1-s

{\frac {1}{1-p}}

OEIS

yksi

0,682689492137

0,317310507863

3,15148718753

A178647

0,954499736104

0,045500263896

21,9778945080

A110894

0,997300203937

0,002699796063

370.398347345

A270712

neljä

0,999936657516

0,000063342484

15787.1927673

0,999999426697

0,000000573303

1744277.89362

0,999999998027

0,000000001973

506797345.897

Ominaisuudet

Moments

Satunnaismuuttujan hetkiä ja absoluuttisia hetkiä kutsutaan satunnaismuuttujien matemaattisiksi odotuksiksi ja vastaavasti . Jos matemaattinen odotus on satunnaismuuttuja, näitä parametreja kutsutaan keskusmomenteiksi . Useimmissa tapauksissa kokonaislukujen momentit ovat kiinnostavia. $X$ ${\näyttötyyli X^{p))$ $\left|X\right|^{p},$ $\mu =0,$ $s.$

Jos sillä on normaalijakauma, niin sillä on (äärelliset) momentit kaikille , joiden reaaliosa on suurempi kuin −1. Ei-negatiivisten kokonaislukujen keskeiset momentit ovat: $X$ $s$ $s$

\mathbb {E} \left[X^{p}\right]={\begin{cases}0&p=2n+1,\\\sigma ^{p}\,\left(p-1\right) )!!&p=2n.\end{cases}}

Tässä on luonnollinen luku, ja merkintä tarkoittaa luvun kaksoistekijää , eli (koska se on tässä tapauksessa pariton) kaikkien parittomien lukujen tuloa 1 :stä $n$ ${\näyttötyyli (p-1)!!}$ $p-1,$ $p-1$ $p-1.$

Ei-negatiivisten kokonaislukujen keskeiset absoluuttiset momentit ovat: $s$

\mathbb {E} \left[\left|X\right|^{p}\right]=\sigma ^{p}\,\left(p-1\right)!!\cdot \left. {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&p=2n+1,\\1&p=2n.\end{cases}}\right\}=\sigma ^{p} \cdot {\frac {2^{\frac {p}{2}}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.

Viimeinen kaava pätee myös mielivaltaiselle . $p>-1$

Fourier-muunnos ja ominaisfunktio

Normaalin todennäköisyystiheyden Fourier-muunnos keskihajonnan kanssa on [9] : $f$ $\mu$ $\sigma$

{\hat {f}}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}},

missä on kuvitteellinen yksikkö .

i

Jos odotus , niin ensimmäinen tekijä on 1 ja Fourier-muunnos vakioon asti on normaali todennäköisyystiheys taajuusväleillä, odotuksen ollessa 0 ja keskihajonnan ollessa . Erityisesti standardi normaalijakauma on Fourierin ominaisfunktio muuttaa. $\mu =0,$ $1/\sigma .$ $\varphi$

Todennäköisyysteoriassa todellisen satunnaismuuttujan jakautumistiheyden Fourier-muunnos liittyy läheisesti tämän muuttujan ominaisfunktioon, joka määritellään reaalimuuttujan ( Fourierin taajuusparametrin ) matemaattisena odotuksena ja on sen funktio. muuttaa). Määritelmä voidaan laajentaa monimutkaiseksi muuttujaksi [10] . Suhde on kirjoitettu näin: $X$ $\varphi _{X}(t)$ $e^{itX}$ $t$ $t$

\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t).

Infinite Divibility

Normaalijakauma on äärettömästi jaollinen .

Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia ja niillä on normaalijakauma keskiarvolla ja varianssilla ja vastaavasti, niin sillä on myös normaalijakauma keskiarvon ja varianssin kanssa $X_{1}$ $X_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\sigma _{1}^{2}$ $\sigma _{2}^{2}$ $X_{1}+X_{2}$ $\mu _{1}+\mu _{2}$ $\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}.$

Tämä tarkoittaa, että normaali satunnaismuuttuja voidaan esittää mielivaltaisen määrän riippumattomien normaalien satunnaismuuttujien summana.

Suurin entropia

Normaalijakaumalla on suurin differentiaalinen entropia kaikkien jatkuvien jakaumien joukossa, joiden varianssi ei ylitä tiettyä arvoa [11] [12] .

Kolmen sigman sääntö Gaussin satunnaismuuttujalle

Kolmen sigman sääntö ( ) - melkein kaikki normaalijakauman satunnaismuuttujan arvot ovat välissä: $3\sigma$

\left(\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma \right),

missä ovat normaalin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja parametri.

\mu =\mathbb {E} \xi

Tarkemmin sanottuna, suunnilleen todennäköisyydellä 0,9973, normaalijakauman satunnaismuuttujan arvo on määritetyllä välillä.

Normaalien näennäissatunnaisten muuttujien simulointi

Tietokonesimulaatioissa, erityisesti Monte Carlo -menetelmää sovellettaessa , on toivottavaa käyttää normaalin lain mukaan jakautuneita suureita. Monet algoritmit antavat normaaleja normaaliarvoja, koska normaaliarvo voidaan saada seuraavasti: $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

X=\mu +\sigma Z,

jossa Z on normaali normaaliarvo.

Algoritmit käyttävät myös erilaisia yhtenäisten suureiden muunnoksia. Yksinkertaisimmat likimääräiset mallinnusmenetelmät perustuvat keskirajalauseeseen . Jos lisäämme riittävän suuren määrän riippumattomia identtisesti jakautuneita suureita, joilla on äärellinen varianssi , niin summan jakauma on lähellä normaalia. Jos esimerkiksi lisäät 100 riippumatonta vakiotasaisesti jakautunutta satunnaismuuttujaa, summan jakauma on suunnilleen normaali .

Normaalisti jakautuneiden näennäissatunnaisten muuttujien ohjelmoituun luomiseen on suositeltavaa käyttää Box-Muller-muunnosta . Sen avulla voit luoda yhden normaalijakauman arvon yhden tasaisesti jakautuneen arvon perusteella.

On myös Ziggurat-algoritmi , joka on jopa nopeampi kuin Box-Muller-muunnos. Se on kuitenkin vaikeampi toteuttaa, mutta sen käyttö on perusteltua tapauksissa, joissa vaaditaan erittäin suuren määrän epätasaisesti jakautuneita satunnaislukuja.

Normaali jakautuminen luonnossa ja sovelluksissa

Normaalijakauma löytyy usein luonnosta. Esimerkiksi seuraavat satunnaismuuttujat mallinnetaan hyvin normaalijakauman avulla:

poikkeama ampumisen aikana;
mittausvirheet (joidenkin mittauslaitteiden virheillä on kuitenkin erilainen jakautuminen);
joitain populaation elävien organismien ominaisuuksia.

Tämä jakauma on niin laajalle levinnyt, koska se on äärettömästi jaollinen jatkuva jakauma, jolla on äärellinen varianssi. Siksi jotkut muut lähestyvät sitä rajassa, kuten binomial ja Poisson . Tämä jakauma mallintaa monia epädeterministisiä fysikaalisia prosesseja [13] .

Monimuuttujien normaalijakaumaa käytetään monimuuttujien satunnaismuuttujien (satunnaisvektorien) tutkimuksessa. Yksi monista esimerkeistä tällaisista sovelluksista on ihmisen persoonallisuuden parametrien tutkimus psykologiassa ja psykiatriassa .

Suhde muihin jakeluihin

Normaalijakauma on tyypin XI Pearson-jakauma [14] .
Riippumattomien standardien normaalijakauman satunnaismuuttujien parin suhteella on Cauchyn jakauma [15] . Toisin sanoen, jos satunnaismuuttuja on suhde (jossa ja ovat itsenäisiä vakionormaalisia satunnaismuuttujia), sillä on Cauchyn jakauma. $X$ $X=Y/Z$ $Y$ $Z$
Jos ovat yhdessä riippumattomia standardinormaalisatunnaismuuttujia, eli niin satunnaismuuttujan khin neliöjakauma on k vapausastetta . $z_{1},\ldots ,z_{k}$ $z_{i}\sim N\left(0,1\right),$ $x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}$
Jos satunnaismuuttujan lognormaalijakauma on , niin sen luonnollisella logaritmilla on normaalijakauma . Eli jos sitten Ja päinvastoin, jos sitten $X$ $X\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right),$ $Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\oikea).$ $Y\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right),$ $X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right).$
Jos riippumattomat normaalijakautuneet satunnaismuuttujat, joilla on matemaattiset odotukset ja varianssit, niin niiden otoskeskiarvo on riippumaton otoksen keskihajonnasta [16] ja seuraavien kahden muuttujan suhteella on t -jakauma vapausasteineen: $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ $\mu$ $\sigma ^{2},$ ${\text{n}}-1$

t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{ 1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\vasen[(X_{1}-{\overline {X}} )^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X)))^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.

Jos riippumattomat standardinormaalit satunnaismuuttujat, niin normalisoitujen neliösummien suhteella on Fisherin jakauma ( ) vapausasteilla [17] : $X_{1},X_{2},...,X_{n},$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n))$ ${\text{n)),$ ${\text{m))$

F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left (Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.

Kahden tavallisen normaalin satunnaismuuttujan neliöiden suhteella on Fisher-jakauma vapausasteineen $\left(1,1\right).$

Historia

Ensimmäistä kertaa normaalijakauma binomijakauman rajana ilmestyi vuonna 1738 De Moivren "The Doctrine of Chance" toisessa painoksessa [18] . Tämä oli ensimmäinen todiste keskusrajalauseen erikoistapauksesta . Vuonna 1809 Gauss esitteli taivaankappaleiden liikkeen teoriassa tämän jakauman, joka johtuu taivaankappaleiden liikkeen toistuvista mittauksista. Gauss kuitenkin johti todellisten satunnaismuuttujien kaavan periaatteesta maksimoida kaikkien mittausten yhteistiheys pisteessä, jonka koordinaatit ovat yhtä suuret kuin kaikkien mittausten keskiarvo. Tätä periaatetta on sittemmin kritisoitu. Vuonna 1812 Laplace Moivre-Laplace-lauseessa yleisti Moivren tuloksen mielivaltaiselle binomijakaumille, eli identtisesti jakautuneiden riippumattomien binäärisuureiden summille [3] . $p={\tfrac {1}{2}}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Wentzel E. S. Todennäköisyysteoria. - 10. painos, stereotyyppinen .. - M . : Academia , 2005. - 576 s. — ISBN 5-7695-2311-5 .
↑ Shiryaev A.N. Todennäköisyys. - M .: Nauka, 1980.
↑ 1 2 Matemaattinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - S. 139 -140.
↑ Wasserman L. Kaikki tilastot . - New York, NY: Springer, 2004. - s . 142 . — 433 s. — ISBN 978-1-4419-2322-6 .
↑ Todistus, katso Gaussin integraali
↑ Halperin, Hartley & Hoel, 1965 , kohta 7.
↑ McPherson (1990 )
↑ Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine . Wolframalpha.com . Haettu: 3.3.2017. (määrätön)
↑ Bryc (1995 , s. 23)
↑ Bryc (1995 , s. 24)
↑ Kansi, Thomas M.; Thomas, Joy A. Tietoteorian elementit. - John Wiley and Sons , 2006. - s. 254.
↑ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. Maximum Entropy Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model // Journal of Econometrics : päiväkirja. - Elsevier, 2009. - S. 219-230 . Arkistoitu alkuperäisestä 7. maaliskuuta 2016.
↑ Taleb N. N. Black Swan. Ennustamattomuuden merkin alla = Musta joutsen: erittäin epätodennäköisen vaikutus. - Hummingbird, 2012. - 525 s. - ISBN 978-5-389-00573-0 .
↑ Korolyuk, 1985 , s. 135.
↑ Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Cauchyn jakautumisparametrin arviot // Nizhny Novgorod State Technical Universityn julkaisut. R.E. Alekseeva . - 2014. - nro 2 (104). - S. 314-319. - UDC 513.015.2 .
↑ Lukacs, Eugene. Normaalijakauman karakterisointi // The Annals of Mathematical Statistics : päiväkirja. - 1942. - Voi. 13 , ei. 1 . - s. 91-3 . — ISSN 0003-4851 . - doi : 10.1214/aoms/1177731647 . — .
↑ Lehmann, E. L. Tilastollisten hypoteesien testaus . – 2. - Springer, 1997. - S. 199 . — ISBN 978-0-387-94919-2 .
↑ Oppi mahdollisuuksista; tai menetelmä pelien tapahtumien todennäköisyyden laskemiseksi, L., 1718, 1738, 1756; L., 1967 (toistettu toim.); Miscellanea analytica de scriebus et quadraturis, L., 1730.

Kirjallisuus

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M .: Nauka, 1985. - 640 s.
Halperin, Max; Hartley, Herman O.; Hoel, Paul G. Suositeltavat standardit tilastollisille symboleille ja merkinnöille. COPSS-symbolien ja merkintöjen komitea // The American Statistician : päiväkirja. - 1965. - Voi. 19 , ei. 3 . - s. 12-14 . - doi : 10.2307/2681417 . — .
McPherson, Glen. Tieteellisen tutkimuksen tilastot : sen perusteet, soveltaminen ja tulkinta . - Springer-Verlag , 1990. - ISBN 978-0-387-97137-7 .
Bryc, Wlodzimierz. Normaali jakelu: sovellusten ominaisuudet . - Springer-Verlag , 1995. - ISBN 978-0-387-97990-8 .

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen iso kiinalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119421818 J9U : 987007560462505171 LCCN : sh85053556 NKC : ph123321

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula