Monimuuttuja normaalijakauma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. huhtikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Monimuuttuja normaalijakauma (tai monimuuttuja Gaussin jakauma ) on todennäköisyysteoriassa yksiulotteisen normaalijakauman yleistys . Satunnaisvektoria, jolla on monimuuttuja normaalijakauma, kutsutaan Gaussin vektoriksi [1] .

Määritelmät

Satunnaisvektorilla on monimuuttuja normaalijakauma, jos jokin seuraavista vastaavista ehdoista on totta: ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})^{{\top }}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

Satunnaisella lineaarisella vektorikomponenttien yhdistelmällä on normaalijakauma tai se on vakio (tämä lause toimii vain, jos matemaattinen odotusarvo on 0). $\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i}$
On olemassa riippumattomien standardinormaalien satunnaismuuttujien vektori , reaalivektori ja ulottuvuusmatriisi , jotka ovat: ${\mathbf {Z}}=(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{{\top }}$ ${\mathbf {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})^{{\top }}$ $\mathbf {A}$ $n \ kertaa m$

{\mathbf {X}}={\mathbf {A}}{\mathbf {Z}}+{\mathbf {\mu }}

On olemassa vektori ja ei-negatiivinen määrätty symmetrinen dimensiomatriisi , jolloin vektorin ominaisfunktio on muotoa: ${\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}$ ${\mathbf {\Sigma ))$ $n\ kertaa n$ $\mathbf {X}$

\phi _{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {u}})=e^{{i{\mathbf {\mu }}^{{\top }}{\mathbf {u} }-{\frac {1}{2}}{\mathbf {u}}^{{\top }}\Sigma {\mathbf {u}}}},\;{\mathbf {u}}\in { \mathbb {R}}^{n}

Ei-degeneroituneen normaalijakauman tiheys

Jos tarkastelemme vain jakaumia, joissa on ei-singulaarinen kovarianssimatriisi , niin seuraava määritelmä on myös ekvivalentti:

On olemassa vektori ja positiivisesti määrätty symmetrinen dimensiomatriisi , jolloin vektorin todennäköisyystiheys on muotoa [2] ::

{\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}

{\mathbf {\Sigma ))

n\ kertaa n

\mathbf {X}

f_{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2}}\vert \Sigma \vert ^{ {1/2}}}}e^{{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{{\top }}\Sigma ^{{-1}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})))),\;{\mathbf {x}}\in {\mathbb {R}}^{n }

, missä on matriisin determinantti ja matriisin käänteisarvo

\vert \Sigma \vert

\Sigma

\Sigma ^{{-1}}

\Sigma

Vektori on keskiarvovektori ja sen kovarianssimatriisi . ${\mathbf {\mu ))$ $\mathbf {X}$ $\Sigma$
Tapauksessa , monimuuttuja normaalijakauma pelkistyy tavalliseen normaalijakaumaan. $n = 1$
Jos satunnaisvektorilla on monimuuttuja normaalijakauma, kirjoita . $\mathbf {X}$ $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$

Kaksimuuttujainen normaalijakauma

Monimuuttujan normaalijakauman erikoistapaus on kaksimuuttujainen normaalijakauma. Tässä tapauksessa meillä on kaksi satunnaismuuttujaa, joilla on matemaattiset odotukset , varianssit ja kovarianssi . Tässä tapauksessa kovarianssimatriisin koko on 2 ja sen determinantti on $X_{1},X_{2}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2))$ $\sigma_{12}$

\mathrm {det} \Sigma =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{12}^{2}=\sigma _{1}^ {2}\sigma _{2}^{2}(1-\rho ^{2}),

missä on satunnaismuuttujien korrelaatiokerroin . $\rho ={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}$

Sitten kaksiulotteisen ei-degeneroituneen (korrelaatiokerroin itseisarvossa ei ole yhtä suuri kuin yksikkö) normaalijakauman tiheys voidaan kirjoittaa seuraavasti:

f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2} }}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\vasen[{\frac {(x_{1}-\mu _{1} )^{2)){\sigma _{1}^{2))}-\rho {\frac {2(x_{1}-\mu _{1})(x_{2}-\mu _{ 2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}^ {2}}}\oikea]\oikea\}

. Siinä tapauksessa, että (eli ne ovat riippuvaisia), niiden summa on edelleen normaalijakautunut, mutta varianssiin tulee lisätermi : .

X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2} ,\sigma _{2}^{2}),cov(X,Y)=\sigma _{12}

X,Y

2\sigma _{12}

X+Y\sim {\mathcal {N))(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+2\sigma _{12})

Monimuuttujan normaalijakauman ominaisuudet

Jos vektorilla on monimuuttuja normaalijakauma, niin sen komponenteilla on yksimuuttujainen normaalijakauma. Päinvastoin, kun komponentit ovat riippumattomia [3] . $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $X_{i},i=1,\ldots ,n,$
Jos satunnaismuuttujilla on yksimuuttujainen normaalijakauma ja ne ovat yhdessä riippumattomia , niin satunnaisvektorilla on monimuuttujainen normaalijakauma. Tällaisen vektorin kovarianssimatriisi on diagonaalinen. $X_{1},\ldots,X_{n}$ $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $\Sigma$
Jos sillä on monimuuttuja normaalijakauma ja sen komponentit ovat pareittain korreloimattomia , niin ne ovat riippumattomia. Kuitenkin, jos joillakin satunnaismuuttujilla on yksiulotteinen normaalijakauma, eivätkä ne korreloi pareittain, siitä ei seuraa, että ne ovat riippumattomia ja niillä on monimuuttuja normaalijakauma. $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $X_{i},\;i=1,\ldots ,n$

Esimerkki. Olkoon , ja yhtä suurella todennäköisyydellä ja olla riippumattomia määritetystä normaaliarvosta. Sitten jos , niin korrelaatio ja on yhtä suuri kuin nolla. Nämä satunnaismuuttujat ovat kuitenkin riippuvaisia, eikä niillä ole kappaleen ensimmäisen lauseen perusteella monimuuttujaa normaalijakaumaa.

X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

\alpha =\pm 1

Y=\alpha X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

X

Y

Monimuuttuja normaalijakauma on vakaa lineaarisissa muunnoksissa . Jos , ja on mielivaltainen ulottuvuuden matriisi , niin $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$ $\mathbf {A}$ $m\ kertaa n$

{\mathbf {A}}{\mathbf {X}}\sim {\mathrm {N}}\left({\mathbf {A}}{\mathbf {\mu }},{\mathbf {A}}\ Sigma {\mathbf {A}}^{{\top }}\oikea).

Tällaisella muunnolla ja siirrolla mikä tahansa ei-degeneroitunut normaalijakauma voidaan pelkistää itsenäisten standardinormaaliarvojen vektoriksi .

Monimuuttujan normaalijakauman hetket

Olkoon keskitettyjä (nolla matemaattista odotusta) satunnaismuuttujat, joilla on monimuuttuja normaalijakauma, jolloin parittomien momentit ovat nolla ja parillisille se lasketaan kaavalla $X$ $\mu _{i_{1}i_{2}i_{3}...i_{k}}=E(X_{i_{1}}X_{i_{2}}X_{i_{3} }...X_{i_{k}})$ $k$ $k=2m$

\sum \sigma _{i_{t_{1}}i_{t_{2}}}\sigma _{i_{t_{3}}i_{t_{4}}}\sigma _{i_{t_ {4}}i_{t_{5}}}}...\sigma _{i_{t_{k-1}}i_{t_{k}}}

jossa summaus suoritetaan kaikkien mahdollisten indeksien osioiden pareiksi. Tekijöiden määrä kussakin termissä on , termien määrä on $m$ ${\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}={\frac {(2m-1)!}{2^{m-1}(m-1)!}}$

Esimerkiksi kunkin termin neljännen kertaluvun hetkillä on kaksi tekijää ja termien kokonaismäärä on yhtä suuri kuin . Vastaava yleinen kaava neljännen kertaluvun momenteille on: $4!/(2^{2}\cdot 2!)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)/(4\cdot 2\cdot 1)=3$

\mu _{ijkm}=E(X_{i}X_{j}X_{k}X_{m})=\sigma _{ij}\sigma _{km}+\sigma _{ik}\ sigma _{jm}+\sigma _{im}\sigma _{kj}

Varsinkin jos ${\näyttötyyli i=j=k=m}$

{\displaystyle \mu _{iiii}=E(X_{i}^{4})=3{\sigma }_{ii}^{2}=3{\sigma }_{i}^{4))

klo $i=j\not=k=m$

{\displaystyle \mu _{iijj}=E(X_{i}^{2}X_{j}^{2})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}+2{\ sigma }_{ij}={\sigma }_{i}^{2}{\sigma }_{j}^{2}+2{\sigma }_{ij))

klo $i=j=k\not=m$

{\displaystyle \mu _{iij}=E(X_{i}^{3}X_{j})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ii }{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma } _{i}^{2}{\sigma }_{ij))

Ehdollinen jako

Olkoon satunnaisvektorit ja niillä on yhteinen normaalijakauma matemaattisten odotusten , kovarianssimatriisien ja kovarianssimatriisin kanssa . Tämä tarkoittaa, että yhdistetty satunnaisvektori seuraa monimuuttujaa normaalijakaumaa odotusvektorin ja kovarianssimatriisin kanssa, joka voidaan esittää seuraavana lohkomatriisina $X$ $Y$ $\mu _{X},\mu _{Y}$ $V_{X}, V_{Y}$ $C_{{XY}}$ ${\boldsymbol Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol X}\\{\boldsymbol Y}\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {\mu }}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{X}\\{\boldsymbol {\mu }}_{Y}\end {bmatrix}}$

{\boldsymbol V}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol V}_{X}&{\boldsymbol C}_{{XY}}\\{\boldsymbol C}_{{YX}} &{\boldsymbol V}_{{Y}}\end{bmatrix}}

missä . $C_{{YX}}=C_{{XY}}^{T}$

Tällöin satunnaisvektorilla on (monimuuttuja) normaali ehdollinen jakauma , jossa on seuraava ehdollinen keskiarvo ja ehdollinen kovarianssimatriisi . $Y$ $X$

$E(Y|X=x)=\mu _{Y}+C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}(x-\mu _{X}),\qquad V(Y| X=x)=V_{Y}-C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}C_{{XY}}$ .

Ensimmäinen yhtälö määrittelee lineaarisen regressiofunktion (vektorin ehdollisen odotuksen riippuvuus satunnaisvektorin annetusta arvosta x ), ja matriisi on regressiokertoimien matriisi. $Y$ $X$ $C_{{XY}}V^{{-1}}$

Ehdollinen kovarianssimatriisi on vektorin komponenttien lineaaristen regressioiden satunnaisvirhekovarianssimatriisi vektorilta . Tapauksessa, jossa on tavallinen satunnaismuuttuja (yksikomponenttinen vektori), ehdollinen kovarianssimatriisi on ehdollinen varianssi (olennaisesti vektorin regression satunnaisvirheen varianssi ) $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$

Muistiinpanot

↑ A. N. Shiryaev. Todennäköisyys. Osa 1. MTSNMO, 2007.
↑ Groot, 1974 , s. 58-63.
↑ A.A. Novoselov. Suosikit: Yhteisjakauman normaalius . Nykyaikaiset riskijärjestelmät (28.3.2014). Haettu 8. toukokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 17. toukokuuta 2017. (määrätön)

Kirjallisuus

M. de Groot Optimaaliset tilastolliset päätökset = Optimal Statistical Decisions. -M.: Mir, 1974. - 492 s.

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula