Digamma-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. joulukuuta 2015 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Matematiikassa digammafunktio määritellään gammafunktion logaritmiseksi derivaattaksi : ${\textstyle {\psi (x)))$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Se on ensimmäisen asteen polygammafunktio, ja korkeamman asteen polygammafunktiot ( trigammafunktio jne .) saadaan siitä differentiaatiolla.

Ominaisuudet

Digammafunktio liittyy harmonisiin lukuihin relaatiolla $\displaystyle {\psi (n)=H_{{n-1}}-\gamma },$

missä on n :s harmoninen luku ja Euler - Mascheronin vakio .

{\textstyle {H_{n))}

{\textstyle {\gamma ))

Täydennyskaava ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operaattorinimi {ctg} (\pi x)))$
Toistuva suhde $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$
Hajoaminen äärettömäksi summaksi $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

missä on Riemannin zeta-funktio .

\zeta (x)

Logaritminen laajennus $\psi (x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$
Gaussin lause ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2))\operaattorin nimi {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\oikea)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\oikea)$

kokonaisluvuille ehdolla .

p,q

0<p<q

Kaikille sarjan laajennukset ovat voimassa: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Linkit

Weisstein, Eric W. Digamma Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Digammafunktion ominaisuudet