Trigamma-funktio

Matematiikan trigammafunktio on polygammafunktioista toinen . Se on merkitty ja määritelty nimellä $\psi_{{1}}(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {{{\rm {d}}}^{2}}{{{\rm {d}}}z^{2}}}\ln \Gamma ( z)\;,

missä on gammafunktio [1] . Tästä määritelmästä seuraa, että $\Gamma(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {({\rm {d}}}}{({\rm {d}}}z}}\psi (z)\;,

missä on digammafunktio (ensimmäinen polygammafunktio ) [2] . $\psi (z)$

Trigammafunktio voidaan määritellä myös seuraavien sarjojen summana:

\psi _{1}(z)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

mistä voidaan nähdä, että kyseessä on Hurwitzin zeta - funktion erikoistapaus [2 ] ,

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.

Nämä kaavat ovat tosia, kun (ilmoitetuissa pisteissä funktiolla on toisen asteen singulaarisuus , katso funktiokaavio). $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ $\psi_{{1}}(z)$

On myös muita kirjallisuudessa käytettyjä merkintöjä: $\psi_{{1}}(z)$

\psi '(z),\;\;\;\psi ^{{(1)}}(z)\;.

Joskus funktiosta [1] käytetään termiä "trigammafunktio" . $F'(z)=\psi _{{1}}(z+1)$

Integraaliesitykset

Käyttämällä sarjaesitystä sekä geometrisen progression termien summan kaavaa voidaan saada seuraava kaksoisintegraaliesitys:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x }}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.

Osien integrointi tuottaa seuraavan kertaluonteisen esityksen:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{ \rm {d}}x\;.

Käytetään myös toista esitystapaa, joka saadaan edellisestä korvaamalla x = e -t :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt)){1-e^{-t))}\,{\ rm {d}}t\;.

Muut kaavat

Trigamma-funktio täyttää rekursiivisen suhteen [2]

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,

sekä komplementtikaava [2]

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)))\;.

Usean argumentin trigammafunktiolla on seuraava ominaisuus [2] :

\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi _{1}\left (z+{\frac {n}{k}}\oikea)\;.

Annamme myös asymptoottisen laajennuksen käyttämällä Bernoulli-lukuja :

\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.

Yksityiset arvot

Alla on trigammafunktion [1] erityiset arvot :

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,

\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,

jossa G on Catalana-vakio ja Clausen-funktio , joka liittyy dilogaritmin imaginaariseen osaan ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$

{\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )={\mathrm {Im}}\left[{\mathrm {Li}}_{2}\!\left(e^{{{\mathrm { i}}\theta }}\right)\right]\;.

Käyttämällä usean argumentin kaavaa ja komplementtikaavaa sekä yhteyttä Clausen-funktioon [3] [4] , saamme: $\psi_{{1}}\!\left({\tfrac 18}\right)$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4- {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+ {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+ {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\oikea)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4- {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\oikea)\; .

Alueen ulkopuolella oleville arvoille voidaan käyttää yllä olevaa toistuvuutta. Esimerkiksi [1] , $0<z\leq 1$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,

\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ C.C. Grosjean, Kaavat Clausen-integraalin laskentaan ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Appl. Matematiikka. 11 (1984) 331-342
↑ PJ de Doelder, Clausen-integraalista ja siihen liittyvästä integraalista ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Appl. Matematiikka. 11 (1984) 325-330

Linkit

Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Katso kohta §6.4
Eric W. Weisstein, Trigamma Function , MathWorld - mathworld.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Polygamma Function , MathWorld - mathworld.wolfram.com