Hurwitzin zeta-funktio

Matematiikassa Adolf Hurwitzin mukaan nimetty Hurwitzin zetafunktio on yksi monista zetafunktioista , jotka ovat yleistyksiä Riemannin zetafunktiosta . Muodollisesti se voidaan määritellä potenssisarjaksi monimutkaisille argumenteille s , Re( s ) > 1 ja q , Re( q ) > 0:

\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Tämä sarja on ehdottoman konvergentti annetuille s: n ja q :n arvoille . Riemannin zeta-funktio on Hurwitzin zeta-funktion erikoistapaus arvolle q = 1.

Analyyttinen jatko

Hurwitzin zeta-funktio sallii analyyttisen jatkon meromorfiselle funktiolle , joka on määritelty kaikille komplekseille s , kun s ≠ 1. Pisteessä s = 1 sillä on yksinkertainen napa , jonka jäännös on 1. Laurent-sarjan laajennuksen vakiotermi pisteen s = 1 läheisyydessä on :

\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\Gamma (q)}}=-\psi (q)

missä Γ( x ) on gammafunktio ja ψ( x ) on digammafunktio .

Rivien esitykset

Helmut Hasse sai vuonna 1930 konvergentin potenssisarjan esityksen q > −1:lle ja mielivaltaiselle kompleksille s ≠ 1 [1]

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{{1-s}}.

Tämä sarja konvergoi tasaisesti missä tahansa kompleksisen s -tason kompaktissa osajoukossa kokonaiseksi funktioksi . Sisäsumma voidaan esittää n :nnenä äärellisenä erotuksena , eli : $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \choose k}(q+k )^{{1-s}}

missä Δ on äärellinen erooperaattori . Tällä tavalla

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Integraaliesitykset

Hurwitzin zeta-funktiolla on integraalinen esitys Mellin-muunnoksen muodossa :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

Re( s )>1 ja Re( q ) >0.

Hurwitzin kaava

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\right]

missä

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \pi ix}})

Tämä Hurwitzin zeta-funktion esitys on voimassa 0 ≤ x ≤ 1 ja s > 1. Tässä on polylogaritmi . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Funktionaalinen yhtälö

Tämä funktionaalinen yhtälö yhdistää Hurwitzin zeta-funktion arvot vasemmalle ja oikealle suorasta Re( s )=1/2 kompleksisessa s - tasossa. Luonnollisille m:lle ja n:lle siten, että m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

totta kaikille s :n arvoille .

Taylor-sarja

Hurwitzin zeta-funktion derivaatta suhteessa toiseen argumenttiin ilmaistaan myös Hurwitzin zeta-funktiona:

{\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Joten Taylor-sarja on:

\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\partial ^{k } }{\partial x^{k))}\zeta (s,x)=\sum _{{k=0))^{\infty }{s+k-1 \valitse s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Laurent-sarja

funktion Laurent -laajennuksella voidaan määrittää vakiot jotka näkyvät laajennuksessa:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

Fourier-muunnos

Diskreetti Fourier-muunnos Hurwitzin zeta-funktion muuttujan s suhteen on Legendre chi -funktio [2]

Yhteys Bernoulli-polynomien kanssa

Yllä määritelty funktio yleistää Bernoullin polynomit : $\beta (x;n)$

B_{n}(x)=-Re\left[(-i)^{n}\beta (x;n)\oikea]

Toisaalta,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \yli n+1}.

Erityisesti, kun : $n = 0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Suhde Jacobi theta -funktioon

Jos on Jacobin theta-funktio , niin $\vartheta (z,\tau )$

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s) ,1-z)\oikea]

Tämä kaava pätee Re( s ) > 0 ja mille tahansa kompleksiselle z :lle, joka ei ole kokonaisluku. Kun kokonaisluku z = n , kaava on yksinkertaistettu:

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

missä ζ( s ) on Riemannin zeta-funktio. Viimeinen lauseke on Riemannin zeta-funktion funktionaalinen yhtälö.

Yhteys Dirichlet L -funktioon

Argumentin rationaalisille arvoille Hurwitzin zeta-funktio voidaan esittää Dirichlet L-funktioiden lineaarisena yhdistelmänä ja päinvastoin. Jos q = n / k k > 2, ( n , k ) > 1 ja 0 < n < k , niin

\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\overline {\chi }(n)L(s,\chi ),

summaus suoritetaan kaikille Dirichlet-merkeille modulo k . Ja takaisin

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac {n}{k}}\oikea).

erityisesti seuraava esitys pitää paikkansa:

k^{s}\zeta (s)=\sum _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\oikea),

yleistää

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Tosi luonnolliselle q : lle ja ei-luonnolle 1 − qa .)

Argumenttien rationaaliset arvot

Hurwitz zeta -funktio esiintyy erilaisissa mielenkiintoisissa suhteissa argumenttien rationaalisille arvoille. [2] Erityisesti Eulerin polynomeille : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\summa _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

sitä paitsi

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum _{{k=1}}^{q}\ vasen[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

oikein . Tässä ja ilmaistaan Legendre chi- funktiolla $1\leq p\leq q$ $C_{\nu }(x)$ $S_{\nu }(x)$ $\chi _{\nu }$

C_{\nu }(x)=\operaattorinimi {Re}\,\chi _{\nu }(e^{{ix)))

S_{\nu }(x)=\operaattorinimi {Im}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}}).

Sovellukset

Hurwitzin zeta-funktio esiintyy matematiikan eri aloilla. Se löytyy useimmiten lukuteoriasta , jossa sen teoria on kehittynein. Myös Hurwitzin zeta-funktio löytyy fraktaalien ja dynaamisten järjestelmien teoriasta . Hurwitz zeta -funktiota käytetään matemaattisissa tilastoissa , syntyy Zipfin laissa . Alkuainehiukkasfysiikassa se esiintyy Schwingerin kaavassa [3] , joka antaa tarkan tuloksen parin muodostusindeksille Diracin yhtälössä paikallaan pysyvälle sähkömagneettiselle kentällä .

Erikoistapaukset ja yleistykset

Hurwitzin zeta-funktio liittyy polygamma-funktioon :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

Lerchin zeta-funktio yleistää Hurwitzin zeta-funktion:

\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

tuo on

\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).

Muistiinpanot

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (saksa) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , ei. 1 . - doi : 10.1007/BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Legendre chi- ja Hurwitz zeta -funktioiden arvot rationaalisilla argumenteilla // Math . Comp.. - 1999. - Ei. 68 . — s. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. Mittarin invarianssista ja tyhjiöpolarisaatiosta // Physical Review. - 1951. - T. 82 , nro 5 . — S. 664–679 . - doi : 10.1103/PhysRev.82.664 .

Kirjallisuus

Milton Abramowitz ja Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), s. 201-206.
Linas Vepstas, Bernoulli-operaattori, Gauss-Kuzmin-Wirsing-operaattori ja Riemann Zeta
Istvan Mezo ja Ayhan Dil, Hyperharmonic-sarja, joka sisältää Hurwitzin zeta-funktion (linkki ei ole käytettävissä) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.

Linkit

Jonathan Sondow ja Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .