Loputon ryhmä

Ääretön ryhmä on ryhmä , jossa on ääretön määrä elementtejä, toisin kuin äärelliset ryhmät . Ensimmäinen tutkimus äärettömistä ryhmistä juontaa juurensa Jordaniaan (1870).

Topologiset ryhmät

Äärettömien ryhmien oletetaan usein olevan topologisia – toisin sanoen niillä on topologia, joka on yhdenmukainen kertolasku- ja käänteiselementin ottamiseen liittyvien operaatioiden kanssa. Tässä tapauksessa voidaan erottaa kaksi vastakkaista ryhmien alaluokkaa - erilliset ryhmät ja yhdistetyt ryhmät. Esimerkki diskreetistä äärettömästä ryhmästä on ääretön syklinen ryhmä , jolla on luonnollinen eli diskreetti topologia. Esimerkki yhdistetystä äärettömästä ryhmästä on ( ) — äärellisulotteinen vektoriavaruus todellisilla (tai kompleksisilla) luvuilla. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb C}^{n}$

Lisäksi topologisen ryhmän "diskreetti osa" - eli sen yhdistettyjen komponenttien ryhmä - on diskreetti (ei välttämättä ääretön) ryhmä, kun taas sen "jatkuva osa" - ryhmän identiteetin yhdistetty komponentti - on yhdistetty (eikä välttämättä loputon) ryhmä . Itse ryhmää ei täysin määrittele "diskreetti" ja "jatkuva" komponentti, eli se ei välttämättä ole heidän suora tuote . Esimerkiksi rationaalisten lukujen ryhmä on täysin irti , ja siksi sen "jatkuva osa" on triviaali, mutta ryhmä ei ole isomorfinen "diskreetille osalleen" - se on laskettavissa, mutta ei diskreetti. Jokaisella profiniittiryhmällä on samanlainen ominaisuus .

Valheryhmät

Yleisesti käytetty äärettömien topologisten ryhmien luokka on Lie-ryhmät, joiden ulottuvuus on suurempi kuin 0. Löyhästi sanottuna nämä ovat ryhmiä, jotka näyttävät paikallisesti äärellisulotteiselta todelliselta (tai kompleksilta) vektoriavaruudesta (dimensio on suurempi kuin 0). Tiukassa määritelmässä käytetään sileän tai algebrallisen muunnelman käsitettä: tällaisen muunnelman rakenne on esitettävä ryhmässä, jotta kertolaskuoperaatiot ja käänteiselementin otto ovat tämän rakenteen mukaisia.

Esimerkkejä Lie-ryhmistä (sekä tasaisia että algebrallisia samaan aikaan) ovat yleinen lineaarinen ryhmä , eli ryhmä reaalimatriiseja , joissa on nollasta poikkeava determinantti, ja sen alaryhmä, erityinen ortogonaalinen ryhmä , joka koostuu ortogonaalisista matriiseista , joiden determinantti on 1 . $GL_{n}(\mathbb {R} )$ $n$ $n$ $SO_{n}(\mathbb {R} )$

Tässä tapauksessa Lie-ryhmän "diskreetti osa" (sen yhdistettyjen komponenttien ryhmä) on välttämättä äärellinen, kun taas "jatkuva osa" (yhtenäiskomponentti) Lie-ryhmän, jonka ulottuvuus on suurempi kuin 0, on päinvastoin, on ääretön. Lie-ryhmä ei kuitenkaan välttämättä ole heidän puolisuora tuote [1] .

Fyysisestä näkökulmasta

Monien fysiikassa kohtaamien äärettömien ryhmien elementit on numeroitu todellisilla parametreilla , jotka muuttuvat jatkuvasti. Jokainen n-parametrisen äärettömän ryhmän alkio g voidaan kirjoittaa seuraavasti: , missä on n reaalilukua. Ei ole Cayley-pöytää äärettömälle ryhmälle . Jos , niin n parametria ovat parametrien funktioita . Siten Cayley-taulukon analogi äärettömälle ryhmälle on joukko n todellista funktiota, joista jokainen riippuu 2n reaalimuuttujasta . Äärettömän ryhmän elementtien on täytettävä neljä tavanomaista ryhmään kuulumisen edellytystä: $g(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n))$ $g(x)g(y)=g(z)$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{n))$ $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},y_{1},y_{2},y_{3},...,y_{n} ,$ $z=f(x,y)$

Ryhmän minkä tahansa kahden elementin tulon on oltava ryhmän elementti. $g(x)g(y)$
Elementtien kertolasku on assosiatiivista: . ${\näyttötyyli [g(x)g(y)]g(z)=g(x)[g(y)g(z)]}$
Ryhmässä g(1) on identiteettielementti, joten kaikille g(x) ${\näyttötyyli g(1)g(x)=g(x)g(1)=g(x)}$
Jokaisella elementillä on yksilöllinen käänteisosa, eli jokaiselle g(x):lle on yksilöllinen ryhmän elementti siten, että . $g(x_{-1})$ $g(x)g(x_{-1})=g(x_{-1})g(x)=g(1)$

F(x, y) funktioilla ilmaistusta vaatimuksesta (2) seuraa, että yhtälö pätee kaikille x, y, z. $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$

Esimerkiksi Lorentzin muunnokset muodostavat äärettömän ryhmän. Tämän ryhmän elementit on numeroitu todellisella parametrilla - inertiavertailukehyksen nopeudella. Kahden parametreilla varustetun Lorentz-muunnoksen tulos on Lorentzin muunnos parametrilla - nopeuden summauksen relativistisella lailla. [2] $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}$

Jäykän kappaleen kierrokset kaikkien mahdollisten jonkin kiinteän pisteen kautta kulkevien akseleiden ympäri muodostavat äärettömän kierrosten ryhmän . Tämän ryhmän elementit on numeroitu joukolla reaalilukuja - Euler-kulmat . [3] $C_{k}\left(\varphi \right)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Lie Group Decomposition puolisuorana yhdistettyjen ja erillisten ryhmien tuotteena Arkistoitu 14. huhtikuuta 2019 Wayback Machinessa // Math.StackExchange
↑ Lyubarsky G. Ya. Ryhmäteoria ja fysiikka. - M., Nauka, 1986. - s. 95
↑ Lyubarsky G. Ya. Ryhmäteoria ja fysiikka. - M., Nauka, 1986. - s. 70-71

Kirjallisuus

Matthews J., Walker R. Matemaattiset menetelmät fysiikassa. — Per. Englannista, M., Atomizdat , 1972, 392 sivua.
Fuchs L. Äärettömät Abelin ryhmät. - Maailma, 1974.

Linkit

A. V. Mikhalev , A. P. Mishina, "Äärettömät Abelin ryhmät: menetelmät ja tulokset" , Fundam. ja appl. Mat., 1:2 (1995), 319-375
A. Yu. Olshansky , A. L. Shmelkin, "Infinite groups" , Algebra - 4, Itogi Nauki ja Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. ohjeet, 37, VINITI, M., 1989, 5-113
M. I. Kargapolov , Yu. I. Merzlyakov , "Infinite groups" , Itogi Nauki. Ser. Matto. Algebra. Poppeli. Geom. 1966, VINITI, M., 1968, 57-90
A. L. Shmelkin, "Abstract Theory of Infinite Groups" , Itogi Nauki. Ser. Matto. Algebra. 1964, VINITI, M., 1966, 47-82