Monitahoinen , monikulmio tai laatoitus on isotoksaalinen tai reunatransitiivinen , jos sen symmetriat vaikuttavat transitiivisesti sen reunoilla. Epävirallisesti tämä tarkoittaa, että objektilla on vain yhdenlainen reuna - kun on kaksi reunaa, on olemassa translaatio, kierto ja/tai peilaus, joka muuttaa yhden reunan toiseksi muuttamatta kohteen käyttämää aluetta.
Termi isotoxal tulee kreikan sanasta τοξον , joka tarkoittaa kaaria .
Isotoksaalinen monikulmio on aina tasasivuinen , mutta kaikki tasasivuiset monikulmiot eivät ole isotoksaalisia. Isotoksaalisten monikulmioiden kaksoiskappaleet ovat isogonaalisia polygoneja .
Yleensä isotoksaalisella 2n -gonilla on D n (*nn) -dihedraalinen symmetria . Rombi on reunatransitiivinen monikulmio, jonka symmetria on D 2 (*22).
Kaikki säännölliset monikulmiot ( säännöllinen kolmio , neliö jne.) ovat isotoksaalisia, ja niillä on kaksinkertainen symmetrialuokka - säännöllisen n - kulman dihedraalinen symmetria on D n (*nn). Säännöllinen 2 n -kulmio on vertex-transitiivinen monikulmio ja sen kärjet voidaan merkitä vuorotellen kahdella värillä, mikä poistaa aksiaalisen symmetrian reunojen keskeltä.
Esimerkkejä isotoksaalisista polygoneista| D2 ( * 22) | D3 ( *33) | D4 ( *44) | D5 ( *55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rombi | Tasasivuinen kolmio | kovera kuusikulmio | Itseleikkaava kuusikulmio | Kupera kahdeksankulmio | tavallinen viisikulmio | Itsestään leikkaava (tavallinen) pentagrammi | Itsestään leikkaava dekagrammi | |
Säännölliset polyhedrat ovat isoedrisiä (kasvotransitiivinen), isogonaalisia (vertex-transitiivinen) ja isotoxaalisia (reunatransitiivinen). Kvasisäännölliset polytoopit ovat isogonaalisia ja isotoksaalisia, mutta eivät isoedrisiä. Niiden kaksoispolyhedrat ovat isoedrisiä ja isotoksaalisia, mutta eivät isogonaalisia.
Esimerkkejä| Kvasisäännöllinen monitahoinen |
Lähes säännöllinen kaksoispolyhedri |
Kvasi -säännöllinen tähtikuvioinen monitahoinen |
Lähes säännöllinen kahden tähden monitahoinen |
Melko tavallinen laatoitus |
Kvasisäännöllinen kaksoislaatoitus |
|---|---|---|---|---|---|
Kuuboktaedri on isogonaalinen ja isotoksaalinen monitahoinen |
Rombinen dodekaedri on isohedraalinen ja isotoksaalinen monitahoinen |
Suuri ikosidodekaedri on isogonaalinen ja isotoksaalinen tähtikuvioinen monitahoinen. |
Suuri rombinen kolmikymmentäsivuinen |
Trihexagonaalinen laatoitus on isogonaalista ja isotoksaalista laatoitusta |
Rombinen laatoitus on isoedrinen ja isotoksaalinen laatoitus, jonka symmetria on p6m (*632). |
Jokainen monitahoinen tai 2-ulotteinen laatoitus , joka koostuu säännöllisistä monikulmioista , ei ole isotoksaalinen. Esimerkiksi katkaistulla ikosaedrilla (tuttu jalkapallosta) on kahden tyyppisiä reunoja - kuusikulmio-kuusikulmio ja kuusikulmio-viisikulmio, eikä kuusikulmio-kuusikulmio-reunaa voida muuttaa kuusikulmio-viisikulmioksi symmetrian avulla. .
Isotoksaalisen monikulmion kaikilla reunoilla on samat kaksikulmaiset kulmat.
Säännöllisistä monitahoista muodostuu yhdeksän kuperaa reunatransitiivista monitahoa , 8 Kepler-Poinsot-polyhedraa ja kuusi muuta ovat näennäissäännöllisiä tähtipolyhedreita (3 | pq) ja niiden kaksoiskappaleita.
Euklidisessa tasossa on 5 monikulmion reunatransitiivista laatoitusta ja äärettömän monta hyperbolisessa tasossa, mukaan lukien Wytoffin säännölliset hyperboliset laatoitukset {p, q} ja epäsäännölliset (pqr) ryhmät.