Itsestään laatoittuvia laattoja ( eng. setiset ) luokkaa n on joukko n muotoa, yleensä litteitä, joista jokainen voidaan laatoittaa pienemmillä kopioilla samoista n muotoista. Tarkemmin sanottuna n figuuria voidaan koota n eri tavalla, jolloin saadaan suuret kopiot saman sarjan hahmoista, ja suurennuskerroin on sama. Kuvassa 1 on esimerkki arvolle n = 4 käyttämällä erimuotoisia dekaminoita . Käsitettä voidaan yleistää ja käyttää suurempia lukuja. Nimen setsets antoi Lee Sallows vuonna 2012 [ 1] [2] , mutta ongelman tällaisten joukkojen löytämisestä arvolle n = 4 asetti kauan ennen sitä C. Dudley Langford , ja esimerkkejä polyabolohahmoista ( löytäjä Martin Gardner , Wade Philpott et al.) ja polyominot ( löytäjä Maurice J. Povah ), jotka ovat aiemmin julkaisseet Gardner [3] .
Yllä olevasta määritelmästä seuraa, että n identtisestä muodosta koostuva sarja itselaatoittuvia laattoja on "jakava" laatta , jolle itsestään laatoittuvat laatat ovat yleistys [4] . N : n eri muodon joukkoja, kuten kuvassa 1 olevaa, kutsutaan täydellisiksi . Kuvassa 2 on esimerkki arvolle n = 4, ja se ei ole täydellinen , koska sarjan kahdella laatalla on sama muoto.
Sarjojen muotojen ei tarvitse olla yhdistettyjä alueita. Myös erilliset hahmot, jotka koostuvat kahdesta tai useammasta erillisestä saaresta, ovat sallittuja. Tällaisia kuvioita pidetään irrotettuina tai heikosti kytkettyinä (jos saarilla on yksi yhteinen piste), kuten kuvassa 3.
Pienin määrä laattoja joukossa on 2. Kuva 4 sisältää äärettömän perheen luokkaa 2, joista kukin koostuu kahdesta kolmiosta P ja Q . Kuten kuvasta näkyy, kolmiot voidaan saranoida siten, että pyöriminen saranan ympäri tuottaa samat P- tai Q (suuremmat) kolmiot. Nämä kolmiot ovat esimerkki saranaleikkauksesta .
Itselaatoituvien laattasarjojen ominaisuudet tarkoittavat, että näillä laatoilla on korvausominaisuus , eli ne muodostavat laatoituksen , jossa prototiileja voidaan leikata tai yhdistää kopioksi itsestään (pienemmäksi tai suuremmaksi). On selvää, että toistamalla laattojen yhdistämisprosessia voidaan saada suurempia ja suurempia kopioita (prosessia kutsutaan laajentamiseksi) tai pienempiä ja pienempiä (pakkaus), ja näitä prosesseja voidaan jatkaa loputtomiin. Tällä tavalla itselaatoitussarjat voivat muodostaa ei-jaksollisia laattoja. Mikään näistä löydetyistä ei-jaksollisista laatoista ei kuitenkaan ole jaksollinen , koska prototiileja voidaan yhdistää jaksoittaiseksi laatoitukseksi. Kuvassa 5 on esitetty järjestyksen 4 joukon laajennuksen kaksi ensimmäistä vaihetta, mikä johtaa ei-jaksolliseen laatoitukseen.
Itsestään laatoittautuvien sarjojen lisäksi, joita voidaan pitää pituudeltaan 1 silmukoina, on olemassa pidempiä silmukoita tai suljettuja laattajoukkojen ketjuja, joissa jokainen sarja muodostaa edellisen [5] . Kuvassa 6 on pari keskenään laatoitettuja decaminolaattojen sarjaa, toisin sanoen silmukan pituus 2. Sallows ja Schotel suorittivat kattavan haun 4 järjestyksen oktaminolaattojen sarjoista . Seitsemän tavanomaisen sarjan (silmukoiden pituus 1) lisäksi he löysivät yllättävän paljon sarjoja, joissa oli kaikenpituisia silmukoita aina 14 asti. Silmukoita löydettiin yhteensä noin puolitoista miljoonaa. Tämänsuuntaisia lisätutkimuksia ei ole saatu päätökseen, mutta näyttää olevan totta, että muut laattasarjat voivat sisältää silmukoita [6] .
Tähän mennessä on käytetty kahta menetelmää itsepäällystettyjen laattasarjojen saamiseksi. Siinä tapauksessa, että sarja koostuu polyomino -tyyppisistä figuureista , joissa osien lukumäärä on kiinteä, on mahdollista hakea suoraan tietokoneella. On helppo osoittaa, että laattojen lukumäärän n on oltava neliö [4] . Kuvat 1, 2, 3, 5 ja 6 ovat tällä tavalla löydettyjä esimerkkejä.
Toinen tapa on leikata useita kopioita "jakavasta" laatasta jollakin tavalla, mikä johtaa itselaatoituvaan sarjaan. Kuviot 7 ja 8 esittävät tällä tavalla saadut joukot. Niissä jokainen laatta on kahden ja kolmen "jakavan" laatan liitto. Kuvassa 8 voit nähdä kuinka 9 laattaa (ylhäällä) muodostaa yhteen 3 "jakavaa" laattaa (alhaalla), kun taas itse nämä 9 laattaa muodostetaan yhdistämällä samat kolme "jakavaa" laattaa. Siten jokainen laatta voidaan saada kaakeloimalla jokainen muoto pienemmillä laatoilla samasta 9 laatan sarjasta [4] .
| geometriset mosaiikit | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jaksottainen |
| ||||||||
| jaksoton |
| ||||||||
| Muut |
| ||||||||
| Vertex- konfiguraation mukaan |
| ||||||||