Jakava laatta ( eng. rep-tile ) [1] - mosaiikkigeometrian käsite , hahmo, joka voidaan leikata pienemmiksi kopioiksi itse hahmosta. Vuonna 2012 englantilainen matemaatikko Lee Salous ehdotti Mathematics Magazinessa [2] jaettavien laatoitusten yleistystä, nimeltään itsestään laatoittava laattasarja .
Jakolaatat merkitään rep- n [3] , jos leikkaus käyttää n kopiota. Tällaiset hahmot muodostavat välttämättä prototiilin tason laatoituksesta, monissa tapauksissa muodostaen ei- jaksollisen laatoituksen . Fissioituvan laatan leikkaamista erikokoisilla laatoilla kutsutaan epäsäännöllisiksi halkeamattomiksi laatoiksi. Jos tällainen leikkaus käyttää n kopiota, kuvaa kutsutaan irrep- n . Jos kaikki hienovaraiset ovat erikokoisia, leikkaus sanotaan olevan täydellinen. Kuvat rep- n tai irrep- n ovat ilmeisesti irrep-( kn − k + n ) mille tahansa k > 1:lle (korvaamme yksinkertaisesti leikkauksen pienimmän elementin n vielä pienemmällä elementillä). Laatan järjestys, oli se sitten rep-laatta tai irrep-laatta, on pienin mahdollinen kappalemäärä, johon laatta voidaan leikata (palasten muodon säilyttäen).
Mikä tahansa neliö , suorakaide , suuntaviiva , rombi tai kolmio on rep-4. Hexiamond "Sphinx" (ylempi kuva) on rep-4 ja rep-9, ja se on yksi useista tunnetuista itseään toistuvista viisikulmioista. Gosperin käyrä on rep-7. Koch-lumihiutale on irrep-7 - kuusi pienempää samankokoista lumihiutaletta ja kolme kertaa suurempi lumihiutale voidaan yhdistää yhdeksi suuremmaksi lumihiutaleeksi.
Suorakulmainen kolmio , jonka sivujen pituus on 1:2, on rep-5, ja sen rep-5 leikkaaminen muodostaa jaksollisen väylälaatoituksen perustan . Pythagoraan lauseen mukaan kolmion rep-5 hypotenuusan pituus on √5.
Kansainvälinen standardi ISO 216 määrittelee paperiarkkien mitat käyttämällä arvoa √2 - suorakaiteen muotoisen paperiarkin pitkä sivu neliöjuureen 2 kertaa lyhyen sivun pituudesta. Tämän muotoiset suorakaiteet ovat rep-2. Suorakulmio (tai suunnikas) on rep- n , jos sen kuvasuhde on √n:1 (mutta ei vain, esimerkiksi √3: √2 on rep-6, kuten on suorakulmio √6:1). Tasakylkinen suorakulmainen kolmio on rep-2.
Jotkut jaettavat laatat, kuten neliö ja säännöllinen kolmio , ovat symmetrisiä ja pysyvät samanlaisina peilattaessa . Toiset, kuten sfinksi , ovat epäsymmetrisiä ja esiintyvät kahdessa erillisessä muodossa , joita yhdistää peiliheijastus. Sfinksin ja joidenkin muiden epäsymmetristen jakolaattojen leikkaaminen vaatii molempien tyyppien käyttöä - alkuperäisen hahmon ja sen peilikuvan.
Jotkut jakolaatat perustuvat monimuotoisiin muotoihin , kuten polyamondeihin ja polyominoihin , tai muotoihin, jotka on luotu yhdistämällä säännöllisiä kolmioita ja neliöitä reunasta reunaan.
Jos polyomino on neliöitävä tai se voi laatoittaa suorakulmion , se on jaettavissa, koska suorakulmio voi laatoittaa neliön (joka itsessään on suorakulmion erikoistapaus). Tämä näkyy helposti oktaminoelementeissä , jotka koostuvat kahdeksasta ruudusta. Kaksi kopiota joistakin oktaminoelementeistä täyttää neliön, joten nämä elementit ovat myös rep-16 jakavia laattoja.
Neljä kopiota samoista nonominoista ja nonakingeista neliöön, joten nämä polyformit ovat myös jaettavia rep-36-laattoja.
Samalla tavalla, jos polyamond- laatta on tavallinen kolmio, se on myös jakolaatta.
Tasakylkisiin suorakulmaisiin kolmioihin (kulmilla 45°-90°-45°) perustuvat polymuodot tunnetaan polyabolona . Niistä ääretön määrä on halkeavia laattoja. Lisäksi yksinkertaisin kaikista jaettavissa olevista laatoista on (yksi) tasakylkinen suorakulmainen kolmio. Se on rep-2 jaettuna hypotenuusan korkeudella . Rep-2 jakolaatat ovat rep-2 n laattoja ja rep-4,8,16+ kolmiot luovat lisää jakavia laattoja. Alla olevat laatat löydetään poistamalla puolet laatoista ja järjestämällä loput uudelleen, kunnes ne täydentävät peilisymmetriaa suorakulmaisen kolmion sisällä. Yksi laatta muistuttaa kalaa, jonka muodostaa kolme säännöllistä kolmiota .
Kolmio- ja nelikulmaiset (nelisivuiset) jakolaatat ovat yleisiä, kun taas viisikulmaiset jakolaatat ovat harvinaisia. Sfinksiä pidettiin pitkään ainoana esimerkkinä, mutta saksalainen / uusiseelantilainen matemaatikko Karl Scherer ja amerikkalainen matemaatikko George Zicherman [4] löysivät lisää esimerkkejä, mukaan lukien kaksoispyramidi ja pitkänomainen versio sfinksistä. Nämä viisikulmaiset jakolaatat on kuvattu amerikkalaisen matemaatikon Erich Friedmanin ylläpitämillä Math Magic -sivuilla [5] [6] . Sfinksi on kuitenkin ainoa tunnettu viisikulmainen halkeamiskelpoinen laatta, jonka alikopiot ovat samankokoisia.
Jakavien laattojen avulla voidaan luoda fraktaaleja tai muotoja, jotka ovat itse samankaltaisia pienempiä ja pienempiä kokoja. Fraktaali (jakavasta ruudusta) muodostetaan jakamalla jakava ruutu (mahdollisesti) poistamalla useita kopioita jaetusta kuviosta jatkamalla prosessia rekursiivisesti . Esimerkiksi Sierpinski-matto muodostetaan tällä tavalla jakavasta laatasta (neliöstä) jakamalla 27 pienempään neliöön ja Sierpinskin kolmio muodostetaan jakavasta laattasta (säännöllinen kolmio) jakamalla neljään pienempään kolmioon. Jos yksi kopioista poistetaan, rep-4 L- trominolla voidaan luoda neljä fraktaalia, joista kaksi on identtisiä, jos suuntaa ei oteta huomioon .
Koska fraktaalit ovat itsensäkaltaisia, monet niistä ovat myös itsestään laatoittuvia ja siten jaettavia laattoja. Esimerkiksi Sierpinskin kolmio on rep-3 laatoitettu kolmella kopiolla itsestään, ja Sierpinski-matto on rep-8 kaakeloitu kahdeksalla kopiolla itsestään.
Monet tunnetuista jaettavissa olevista laatoista ovat rep- n 2 kaikille n:n positiivisille arvoille . Tämä koskee erityisesti kolmea puolisuunnikasta , mukaan lukien se, joka on muodostettu kolmesta säännöllisestä kolmiosta, kolmelle pentominolle (L-tromino, L-tetramino, P-pentamino) ja Sphinx-heksimondille. [7]
Säännöllisistä monikulmioista vain kolmio ja suorakulmio voidaan leikata pienemmiksi samankokoisiksi kopioiksi itsestään. Säännöllinen kuusikulmio voidaan kuitenkin leikata kuuteen tasasivuiseen kolmioon, joista jokainen voidaan leikata säännölliseen kuusikulmioon ja kolmeen säännölliseen kolmioon. Tämä on perusta kuusikulmion loputtomalle laatoittamiselle kuusikulmiolta. Siten kuusikulmio on irrep-∞ tai irrep-ääretön jakolaatta.
| geometriset mosaiikit | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jaksottainen |
| ||||||||
| jaksoton |
| ||||||||
| Muut |
| ||||||||
| Vertex- konfiguraation mukaan |
| ||||||||
| Polyformit | |
|---|---|
| Polyformien tyypit | |
| Polyomino solujen lukumäärän mukaan | |
| Palapelit polycubeilla | |
| Pinoamistehtävä |
|
| Persoonallisuudet |
|
| liittyvät aiheet | |
| Muita pulmia ja pelejä | |