Heksamino

Heksamino  on kuusisoluinen polyomino , eli litteä hahmo, joka koostuu kuudesta yhtä suuresta neliöstä, jotka on yhdistetty sivuilla. Heksaminokuvioissa, kuten kaikissa polyominoissa, on monia viihdyttävän matematiikan ongelmia.

Jos emme laske kiertojen ja peiliheijastusten aikana yhteneviä lukuja, niin heksaaminolla on 35 erilaista ("vapaata") muotoa (katso kuva) [1] [2] . On olemassa 60 tyyppiä "yksipuolisia" heksaminoita (jos peiliheijastuksia pidetään eri lukuina) ja 216 tyyppiä "kiinteitä" heksaminoita (käännöksiä pidetään myös erilaisina) [3] .

Heksaminoluokitus symmetrian mukaan

35 vapaata heksaaminofiguuria voidaan jakaa viiteen kategoriaan niiden symmetriaominaisuuksien mukaan:

• 20 heksaaminofiguuria (näkyy kuvassa harmaalla) ovat epäsymmetrisiä;
• 6 heksaaminolla (kuvattu punaisella) on symmetria-akseli, joka on yhdensuuntainen neliöruudukon linjojen kanssa;
• 2 heksaaminolla (kuvattu vihreällä) on diagonaalinen symmetria-akseli;
• Viidellä heksaaminolla (esitetty sinisellä) on keskeinen (kierto) toisen asteen symmetria;
• Kahdella heksaaminolla (esitetty violetilla) on kaksi symmetria-akselia, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​ruudukon viivojen kanssa.

Yksipuolisille heksaaminoille (eli jos kappaleiden peilikuvia pidetään erilaisina) ensimmäisen ja neljännen luokan lukumäärä kaksinkertaistetaan, jolloin saadaan 25 lisää heksaaminoa, yhteensä 60. Kiinteille heksaminoille (eli jos käännöksiä käsitellään myös eri lukuina), niin ensimmäinen luokka nousee kahdeksan kertaa vapaisiin heksaminoihin verrattuna, seuraavat kolme luokkaa neljä kertaa ja viimeisestä kategoriasta kaksi. Tämä antaa kiinteitä heksaminoita.

Figuurien kokoaminen hexaminosta

Vaikka täydellisen 35 heksaaminon sarjan kokonaispinta-ala on 210 neliötä, on mahdotonta muodostaa suorakulmiota, jolla on tällainen pinta-ala (3x70, 5x42, 6x35, 7x30, 10x21, 14x15) - toisin kuin 12 pentomiossa, jotka voivat olla käytetään minkä tahansa 3x20-, 4x15-, 5x12- ja 6x10-suorakulmioiden muodostamiseen. Voit todistaa tämän värittämällä heksaaminon ja suorakulmion shakkilautakuvioon. Tällöin 11 heksaaminopalalla on parillinen määrä molempien värien ruutuja (2 valkoista ja 4 mustaa tai päinvastoin), ja lopuilla 24 heksaaminopalalla on pariton määrä (3 valkoista ja 3 mustaa). Siten missä tahansa luvussa, joka koostuu täydellisestä heksaaminojoukosta, kunkin värin neliöiden lukumäärä on parillinen. Mutta missä tahansa 210 neliön suorakulmiossa on 105 mustaa ruutua ja 105 valkoista ruutua, mikä on pariton luku.

On kuitenkin muita symmetrisiä 210 neliön lukuja, jotka voivat koostua heksaminoista. Esimerkiksi 15x15 neliössä, jonka keskellä on 3x5 suorakaiteen muotoinen reikä, on 106 valkoista ja 104 mustaa ruutua (tai päinvastoin), ja se voi koostua 35 heksaaminon täydellisestä sarjasta [4] .

Jotkut symmetriset heksaaminopinot

• "Parallelogrammi" 15×14, jossa sahalaitaiset sivut

• Suorakaide 19x11, jossa yksi kennoylitys

• Suorakaide 13x16, jossa on 2 välilehteä

• "Kolmio", jossa on rosoinen hypotenuusa

• Suorakaide 17×15 ristireiällä

Lisäksi 60 yksipuolisesta heksaaminosta, joiden kokonaispinta-ala on 360 neliötä, voidaan tehdä 5x72, 6x60, 8x45, 9x40, 10x36, 12x30, 15x24 ja 18x20 suorakulmioiksi [5] .

Kuution kehitys

11 35 heksaaminofiguurista on auki taitettuja kuutioita (katso kuva) [6] . Niistä on mahdotonta lisätä suorakulmiota, jonka pinta-ala on 66 yksikköneliötä [7] .

Muistiinpanot

1. ↑ Golomb, 1975 .
2. ↑ Golomb, 1994 .
3. ↑ Weisstein , Eric W. Hexomino  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
4. ↑ Heksominot . Haettu 18. syyskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 27. syyskuuta 2011. (määrätön)
5. ↑ Gerardin Polyomino Solution -sivu . Käyttöpäivä: 30. syyskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 18. tammikuuta 2012. (määrätön)
6. ↑ I. Konstantinov Pentamino et al. Arkistokopio , päivätty 19. marraskuuta 2015, Wayback Machine Science and Life, nro 4, 2002
7. ↑ Gardner, Mathematical Novels, 1974 .

Kirjallisuus

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. englannista. V. Firsova. Esipuhe ja toim. I. Yagloma . -M.:Mir, 1975. - 207 s.
• Solomon W. Golomb . polyominot. - 2. painos - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• Gardner M. Matemaattiset romaanit. - M .: Mir, 1974.
• D. Hugh Redelmeier. Polyominojen laskeminen: vielä yksi hyökkäys // Discrete Mathematics : Journal. - 1981. - Voi. 36. - s. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Pienten n -ominojen laatoitus monimutkaisuus ( n < 10)  // Discrete Mathematics: Journal. - 1988. - Voi. 70.—s. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Tasomaiset laatoitukset polyominoista, polyhekseistä ja polyiamanteista // Journal of Computational and Applied Mathematics : Journal. - 2005. - Voi. 174. - s. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .