Hunajakenno (geometria)

Hunajakenno  on tilan täyttö ei-leikkautuvilla polyhedrailla , joissa ei ole täyttämätöntä tilaa. Tämä on yleistys mosaiikin tai parketin matemaattisesta käsitteestä mihin tahansa ulottuvuuteen.

Hunajakennoja pidetään yleensä tavallisessa euklidisessa ("litteässä") tilassa. Ne voidaan rakentaa myös ei-euklidisiin tiloihin , kuten hyperboliseen hunajakennoon . Mikä tahansa äärellinen yhtenäinen monitahoinen voidaan projisoida sen kehälle , jolloin saadaan yhtenäinen kenno pallomaisessa tilassa.

Luokitus

Soluja on äärettömän monta ja ne voidaan luokitella vain osittain. Säännöllisimmät laatoitukset saavat eniten kiinnostusta, vaikka rikas ja laaja valikoima muita laattoja löytyy yhä uudelleen ja uudelleen.

Yksinkertaisimmat hunajakennot muodostetaan parketeista tasoon rakennetuista prismakerroksista . Erityisesti minkä tahansa suuntaissärmiön kopiot voivat täyttää tilan, ja kuutioiset kennot ovat erikoistapaus, koska ne yksin muodostavat säännöllisiä kennoja tavallisessa (euklidisessa) tilassa. Toinen mielenkiintoinen esimerkki on Hill-tetraedri ja sen yleistykset, jotka myös muodostavat mosaiikin avaruudessa.

Homogeeniset 3D-hunajakennot

3D- homogeeninen hunajakenno  on 3D-avaruudessa oleva hunajakenno, joka koostuu yhtenäisistä monitahoista , joilla on samat kärjet (eli mosaiikin säilyttävä 3D-avaruuden isometriaryhmä on transitiivinen pisteissä ). Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on 28 esimerkkiä kuperista laatoista [1] , joita kutsutaan myös Arkhimedoksen hunajakennoiksi .

Hunajakennoa kutsutaan säännölliseksi , jos laatoituksen säilyttävä isometriaryhmä toimii transitiivisesti lipuissa , joissa lippu  on pintaan kuuluvalla reunalla oleva kärki (kaikki yhdessä). Jokainen tavallinen hunajakenno on automaattisesti homogeeninen. Euklidisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on kuitenkin vain yksi säännöllinen hunajakenno - kuutiokenno . Kaksi solua ovat lähes säännöllisiä (valmistettu kahden tyyppisistä säännöllisistä soluista):

Tetraedri-oktaedrikenno ja pyöritetty tetraedri-oktaedrikenno koostuvat kerroksista, jotka muodostuvat tetraedrien ja oktaedrien 3. tai 2. sijainnista. Vuorottelemalla näitä kerroksia eri tavoilla voidaan saada ääretön määrä ainutlaatuisia soluja.

Tilaa täyttävä polyhedra

Kolmiulotteisten kennojen, joiden kaikki solut ovat identtisiä, mukaan lukien symmetria, sanotaan olevan solutransitiivisia tai isokorisia . Tällaisten kennojen solusta puhutaan tilaa täyttävänä polyhedrana [2] .

Vain viisi tilaa täyttävää monitahoista voi täyttää kolmiulotteisen euklidisen avaruuden käyttämällä vain rinnakkaissiirtoa. Niitä kutsutaan rinnakkaihereiksi :

1. Kuutiomaiset hunajakennot (tai muunnelmat: kuutiomainen , rombinen kuusikulmio tai kuutiomuotoinen );
2. Kuusikulmaiset prismaattiset hunajakennot [3] ;
3. Rombiset dodekahedraaliset hunajakennot ;
4. Pitkänomaiset dodekaedriset hunajakennot [4] ;
5. Hunajakenno syvästi katkaistuista kuutioista [5] .

Muita merkittäviä esimerkkejä:

• Kolmion muotoiset prismaattiset hunajakennot .
• Tasaiset pyöritetyt kolmionmuotoiset prismaattiset hunajakennot
• Typistetyt triakistetraedriset hunajakennot . Voronoin hiiliatomiensolut timantissa näyttävät tältä [6] .
• Puolisuunnikas-rombiset dodekaederiset hunajakennot [7] .
• Yksinkertaiset isoedriset laatoitukset [8] .

Muut hunajakennot, joissa on kaksi tai useampi polyhedra

Joskus kaksi [9] tai useampia eri polytooppeja voidaan yhdistää täyttämään tilan. Tunnettu esimerkki on Weir-Phelan-rakenne , joka on lainattu klatraattihydraattikiteiden rakenteesta [10] .

Weir-Phelan-rakenne (kahden tyyppisellä solulla)

Ei-kuperat 3D-kennokennot

Dokumentoidut esimerkit ovat harvinaisia. Kaksi luokkaa voidaan erottaa:

• ei-kuperat solut, jotka on pakattu ilman päällekkäisyyttä, kuten koverat monikulmiolaatat; ne sisältävät pienten tähtimuotoisten rombisten dodekaedrien pakkaamisen kuten Yoshimoton kuutiossa ;
• mosaiikit, joissa on päällekkäisiä soluja, joissa positiiviset ja negatiiviset tiheydet "tuhoavat" ja muodostuu tasaisen tiheyden jatkumo, joka on samanlainen kuin mosaiikit, joissa on päällekkäisyys tasoilla.

Hyperboliset hunajakennot

Kolmiulotteisessa hyperbolisessa avaruudessa monitahoisen kaksitahoisen kulma riippuu monitahoisen koosta. Tavallisiin hyperbolisiin kennoihin kuuluu kaksi tyyppiä, joissa on neljä tai viisi dodekaedria , joilla on yhteiset reunat. Niiden dihedraaliset kulmat olisivat silloin π/2 ja 2π/5, molemmat pienempiä kuin Euklidisen dodekaedrin. Tätä vaikutusta lukuun ottamatta hyperboliset kennot täyttävät samat rajoitukset kuin euklidiset kennot ja polyhedrat.

4 tyyppiä kompakteja säännöllisiä hyperbolisia kennoja ja monia homogeenisia hyperbolisia kennoja tutkitaan .

Hunajakennojen kaksinaisuus kolmessa ulottuvuudessa

Jokaisessa solussa on kaksoissoluja, jotka voidaan vaihtaa:

Oikeat solut:

• Kuutioiset hunajakennot ovat itsenäisiä.
• Oktaedreista ja tetraedreistä koostuvat hunajakennot ovat rombisten dodekaedrien kaksoiskennoja.
• Tasaisista tasomaisista laatoista saadut kerroksiset kennot ovat kaksinkertaisia ​​kaksoislaatoinnista saatuihin verrattuna.
• Kaksoiskennot muihin Arkhimedoksen kennoihin nähden ovat solutranssitiivisiä ja niitä kuvataan Inchbaldin paperissa [11] .

Self-dual honeycombs

Hunajakennot voivat olla kaksinkertaisia . Kaikki n - ulotteiset hyperkuutioiset kennot , joissa on Schläfli-symbolit {4,3 n −2 ,4}, ovat itseduaaleja.

Katso myös

• Luettelo yhtenäisistä laatoista
• Luettelo säännöllisistä moniulotteisista polytoopeista ja yhdisteistä § Euklidisen kolmiulotteisen avaruuden laatoitukset

Muistiinpanot

1. ↑ Grünbaum, 1994 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Tilaa täyttävä monitahoinen  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
3. ↑ [1] Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa Homogeeniset tilan täyttävät prismat, jotka perustuvat kolmioon, neliöön ja kuusikulmioon
4. ↑ [2] Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa Homogeeniset tilan täyttävät rombinen kuusikulmainen dodekaedrit
5. ↑ [3] Arkistoitu 14. tammikuuta 2006 Wayback Machinessa Homogeeninen tilan täyttävä katkaistu octahedra
6. ↑ Voronoi Polyhedron
7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , s. 1843-1850
8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , s. 358-362.
9. ↑ Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 16. toukokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 30. kesäkuuta 2015.  (määrätön)  Gabbrielli, Ruggero. 13-sivuinen monitahoinen, joka täyttää tilan kiraalisella kopiollaan.
10. ↑ Pauling, 1960 .
11. ↑ Inchbald, 1997 , s. 213-219.

Kirjallisuus

• HS M Coxeter . Luku 8: Transkaatio //Tavalliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. Luku 5: Polyhedra-pakkaus ja tilan täyttö // Luonnonrakenteen geometrinen perusta: Suunnittelun lähdekirja . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 164-199 .
• K. Critchlow. Järjestys avaruudessa. - New York: Thames & Hudson Inc., 1997. - ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grunbaum. 3-tilan yhtenäiset laatoitukset // Geombinatorials . - 1994. - Numero. 4(2) .
• P. Pearce. Rakenne luonnossa on suunnittelun strategia. - Cambridge, Massachusetts, Lontoo: MIT Press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. Uusi ohjelma solvatoituneiden biomolekyylien jaksollisten rajamallien optimointiin (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. - 2001. - T. 22 , no. 15 .
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isoedriset yksinkertaiset laatoitukset: binodal ja by laatat <16 pinnalla  // Acta Cryst. - 2005. - Ongelma. A61 .
• Linus Pauling. Kemiallisen sidoksen luonne . - Cornell University Press, 1960. - ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. Archimedean Honeycomb duaalit // Mathematical Gazette. - 1997. - Numero. 81 , heinäkuuta

Linkit

• Hyperavaruuden sanasto
• Viisi tilaa täyttävää polyhedraa , Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , marraskuu 1996, s. 466-475.
• TE Dorozinskin Raumfueller (Space filling polyhedra).

Fundamentaaliset kuperat säännölliset ja yhtenäiset kennot mitoiltaan 2–10

Perhe // _ Homogeeninen mosaiikki {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Kuusikulmainen Homogeeniset kuperat hunajakennot {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 yhtenäinen viisiulotteinen hunajakenno {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 24 solun hunajakenno yhtenäinen kuusiulotteinen hunajakenno {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 yhtenäinen seitsemänulotteinen hunajakenno {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ yhtenäinen kahdeksanulotteinen hunajakenno {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 yhtenäinen yhdeksänulotteinen hunajakenno {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Tasaiset n -ulotteiset hunajakennot {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21