Perusalue

Kun on annettu topologinen avaruus ja siinä oleva toimintaryhmä , toimintaryhmän toiminnan alaisena yksittäisen pisteen kuvat muodostavat toimintaradat . Perusalue on avaruuden osajoukko, joka sisältää täsmälleen yhden pisteen jokaiselta kiertoradalta. Se antaa geometrisen toteutuksen kiertoradan abstraktien edustajien joukosta.

Perusalueen valitsemiseen on monia tapoja. Yleensä vaaditaan, että perusalue on yhdistetty osajoukko, jolla on joitain rajoituksia rajoissa, kuten että ne ovat sileitä tai monitahoisia. Kuvat valitusta perusalueesta ryhmän toiminnan alaisina muodostavat mosaiikin avaruudessa. Yksi perusalueiden päärakenteista perustuu Voronoin kaavioihin .

Ehdotuksia yleiseksi määritelmäksi

Kun otetaan huomioon ryhmän G toiminta topologisessa avaruudessa X homeomorfismien avulla , tällaisten toimien perusalue on radan edustajien joukko D. Yleensä vaaditaan, että tämä joukko on topologisesti yksinkertainen ja määriteltävä jollakin useista erityisistä tavoista. Tavallinen ehto on, että D on melkein avoin joukko siinä mielessä, että D :n on oltava G : n avoimen joukon symmetrinen erotus nollajoukon kanssa jollekin (quasi)invariantille suurelle X : ssä . Perustaso sisältää aina vapaan säännöllisen joukon U , avoimen joukon , joka siirtyy G :n vaikutuksesta irtautuneiksi kopioiksi ja edustaa lähes kuten D kiertoradat. Usein vaaditaan, että D on täydellinen sarja kosetteja, joissa on joitain toistoja, mutta toistoosan on oltava nolla. Tämä on yleinen tilanne ergodisissa teorioissa . Jos perusaluetta käytetään integraalin arvioimiseen X / G : ssä , nollamitan joukolla ei ole merkitystä.

Esimerkiksi jos X on n - ulotteinen euklidinen avaruus R n ja G on hila Z n , joka toimii siihen rinnakkaisena käännöksenä , X / G : n osamääräavaruus on n - ulotteinen torus . Perusalueeksi voidaan ottaa D [0,1) n , joka eroaa avoimesta joukosta (0,1) n nollamittajoukolla, tai suljettu yksikkökuutio [0,1] n , jonka raja koostuu pisteitä, joiden kiertoradalla on useampi kuin yksi edustaja D :ssä .

Esimerkkejä

Esimerkkejä kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa R3 .

Siinä tapauksessa, että rinnakkaiskuljetus yhdistetään muuntyyppisiin symmetrioihin, perusalue on osa yksikkösolua. Esimerkiksi tasomaisille symmetriaryhmille perusalue on 1, 2, 3, 4, 6, 8 tai 12 kertaa pienempi kuin primitiivinen solu.

Modulaarisen ryhmän perusalue

Oikeanpuoleinen kaavio esittää osan modulaarisen ryhmän Γ toiminnan perusalueen konstruktiosta ylemällä puolitasolla H (tässä ylemmällä puolitasolla tarkoitetaan kompleksitason osaa, jolla on positiivinen kerroin kohdassa i ).

Tämä kuuluisa kaavio esiintyy kaikissa klassisissa modulaarisia toimintoja käsittelevissä kirjoissa . (Ehkä sen tiesi hyvin Gauss , joka käsitteli perusalueita tutkiessaan neliömuotojen pelkistystä.) Tässä jokainen kolmioalue (joka rajataan sinisillä viivoilla) on vapaa säännöllinen alue Γ:n toiminnoista H :ssä . Rajat (siniset viivat) eivät ole osa vapaita säännöllisiä sarjoja. Perustason H /Γ muodostamiseksi on päätettävä, kuinka pisteet asetetaan rajoihin, ja on oltava varovainen, ettei näitä pisteitä sisällytetä kahdesti. Joten tämän esimerkin ilmainen säännöllinen joukko on

Perusalue rakennetaan lisäämällä vasen reuna ja puoli kaaria alhaalta, mukaan lukien keskipiste:

Sisällytettävien pisteiden valinta vaihtelee kirjoittajan mukaan.

Suurin vaikeus perustason määrittämisessä ei ole suoraan joukon määrittelyssä, vaan pikemminkin siinä, kuinka integraaleja käsitellään perusalueen yli, kun integrandeilla on navat ja nollat ​​alueen rajalla.

Katso myös

Linkit