4D monitahoinen

Neliulotteinen polyhedri  on monitahoinen neliulotteisessa avaruudessa [1] [2] . Monitahoinen on yhdistetty suljettu hahmo, joka koostuu pienemmän ulottuvuuden monitahoisista elementeistä - kärkipisteistä , reunoista , pinnoista ( polygons ) ja soluista ( kolmiulotteinen polyhedra ). Jokainen kasvot kuuluvat tarkalleen kahteen soluun.

Neliulotteisen monitahoisen kaksiulotteinen analogi on monikulmio , ja kolmiulotteinen analogi on kolmiulotteinen monitahoinen .

Topologisesti 4D-polyhedrat liittyvät läheisesti yhtenäisiin kennoihin , kuten kuutiokennoihin , jotka muodostavat 3D-avaruuden. Samalla tavalla kolmiulotteinen kuutio liittyy äärettömiin kaksiulotteisiin neliömäisiin kennoihin . Kupera 4D-polyhedra voidaan leikata ja purkaa 3D - tilassa.

Määritelmä

Neliulotteinen monitahoinen on suljettu neliulotteinen hahmo . Se koostuu pisteistä (kulmapisteistä), reunoista , pinnoista ja soluista . Solu on kasvojen kolmiulotteinen analogi ja kolmiulotteinen monitahoinen . Jokaisen 2D-pinnan on yhdistettävä täsmälleen kaksi solua, aivan kuten 3D-polyhedronin reunat yhdistävät täsmälleen kaksi pintaa. Muiden polytooppien tapaan 4-polytoopin elementtejä ei voida jakaa kahteen tai useampaan joukkoon, jotka ovat myös 4-polytooppeja, eli se ei ole komposiitti.

Tunnetuin neliulotteinen monitahoinen on tesserakti (hyperkuutio), kuution neliulotteinen analogi.

Visualisointi

Neliulotteisia polyhedraja ei voida esittää kolmiulotteisessa avaruudessa ylimääräisen ulottuvuuden vuoksi. Visualisointiin käytetään useita tekniikoita.

Ortografisten projektioiden avulla voidaan näyttää erilaisia ​​4D-polyhedrin symmetrioita. Projektiot voidaan esittää kaksiulotteisina kaavioina, tai ne voidaan esittää kolmiulotteisina kiinteinä aineina projektitiivisina kuorina .

Aivan kuten 3D-muodot voidaan projisoida tasaiselle levylle, 4D-muodot voidaan projisoida 3D-avaruuteen tai jopa tasolle. Yleinen projektiotyyppi on Schlegel-diagrammi , joka käyttää pisteiden stereografista projektiota kolmiulotteisen pallon pinnalle kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka on yhdistetty kolmiulotteisessa avaruudessa suorilla reunoilla, pinnoilla ja soluilla.

Aivan kuten monitahoisen leikkaaminen paljastaa leikatun pinnan, 4D-polyedrin leikkaaminen paljastaa "hyperpinnan" 3D-avaruudessa. Tällaisten viipaleiden järjestystä voidaan käyttää koko kuvion ymmärtämiseen. Ylimääräinen ulottuvuus voidaan rinnastaa näiden osien animointiin tarvittavaan aikaan.

Neliulotteisen polyhedronin kehitys koostuu pintojen avulla yhdistetyistä monitahoisista soluista jotka sijaitsevat kolmiulotteisessa avaruudessa, aivan kuten kolmiulotteisen monitahoisen kehityksen monikulmiopinnat on yhdistetty reunoilla ja ne sijaitsevat kaikki sama kone.

Topologiset ominaisuudet

Minkä tahansa 4D-polyhedronin topologia määritellään sen Betti-luvuilla ja vääntökertoimilla [3] .

Polyedrien karakterisoimiseen käytetyn Eulerin ominaisuuden arvo ei yleisty kunnolla korkeampiin ulottuvuuksiin ja on nolla kaikille neliulotteisille polyhedreille, olipa taustalla oleva topologia mikä tahansa. Tämä epäjohdonmukaisuus Eulerin ominaisuudessa eri topologioiden luotettavassa erottamisessa suurissa ulottuvuuksissa johtaa tarkempien Betti-lukujen ilmestymiseen [3] .

Vastaavasti monitahoisen suuntautuvuuden käsite ei riitä karakterisoimaan toroidisten monitahojen pintojen kiertymistä, mikä johtaa vääntökertoimien käyttöön [3] .

Luokitus

Kriteerit

Neliulotteiset polyhedrat voidaan luokitella sellaisten ominaisuuksien mukaan kuin " kuperuus " ja " symmetria " [3] .

• 4-polytooppi on kupera , jos sen rajat (mukaan lukien solut, (3-ulotteiset) pinnat ja reunat) eivät leikkaa itseään (periaatteessa polytoopin pinnat voivat kulkea kuoren sisällä) ja segmentit, jotka yhdistävät mitä tahansa kahta pistettä 4-polytooppi on kokonaan sen sisällä. Muuten monitahoa pidetään ei- kuperana . Itseleikkaavat neliulotteiset polyhedrat tunnetaan myös tähtipolyhedraina analogisesti ei-kuperoiden Kepler-Poinsot-polyhedrien tähtimäisten muotojen kanssa .
• Neliulotteinen polytooppi on säännöllinen , jos se on transitiivinen lippujensa suhteen . Tämä tarkoittaa, että kaikki sen solut ovat yhteneväisiä säännöllisiä monitahoja , ja myös kaikki sen kärkiluvut ovat kongruentteja toisenlaisen säännöllisen monitahoisen kanssa.
• Kupera neliulotteinen polytooppi on puolisäännöllinen, jos sillä on symmetriaryhmä siten, että kaikki kärjet ovat ekvivalentteja ( vertex-transitiivisia ) ja solut ovat säännöllisiä polytooppeja . Soluja voi olla kahta tai useampaa tyyppiä, jos niillä on sama kasvotyyppi. Thorold Gosset löysi vain 3 tällaista hahmoa vuonna 1900: täysin katkaistu viisisoluinen [en] , täysin katkaistu kuusisataasoluinen ja nukkanenäinen kaksikymmentäneljäsoluinen .
• Neliulotteinen monitahoinen on homogeeninen , jos sillä on sellainen symmetriaryhmä , että kaikki kärjet ovat ekvivalentteja ja solut ovat tasaisia ​​monitahoja . Tasaisen 4-polytoopin pintojen (2-ulotteisten) on oltava säännöllisiä polygoneja .
• Neliulotteinen polytooppi on isotooppi [4] , jos se on huipputransitiivinen ja sen reunat ovat samanpituiset. Toisin sanoen epäyhtenäiset solut, kuten Johnsonin kupera polyhedra , ovat sallittuja .
• Säännöllisen neliulotteisen polytoopin, joka on myös kupera , sanotaan olevan säännöllinen kupera neliulotteinen polytooppi .
• Neliulotteinen monitahoinen on prismaattinen , jos se on kahden tai useamman alemman ulottuvuuden monitahoinen tulos. Prismaattinen neliulotteinen monitahoinen on homogeeninen, jos sen tekijät suorassa tulossa ovat homogeenisia. Hyperkuutio on prismaattinen (kahden neliön tai kuution ja janan tulo ), mutta sitä käsitellään erikseen, koska sillä on suurempi symmetria kuin tekijöistä perityillä symmetrioilla.
• Mosaiikki tai hunajakenno kolmiulotteisessa avaruudessa  on kolmiulotteisen euklidisen avaruuden hajoaminen monitahoisten solujen toistuvaksi hilaksi . Tällaiset laatoitukset tai tessellaatiot ovat äärettömiä, eikä niitä rajoita "4D"-tilavuus, joten ne ovat esimerkkejä äärettömästä 4D-polyhedrasta. Kolmiulotteisen avaruuden yhtenäinen laatoitus  on laatoitus, jossa kärjet ovat yhteneväisiä ja niitä yhdistää kristallografinen ryhmä ja solut ovat yhtenäisiä monitahoja .

Luokat

Seuraava luettelo neliulotteisten polyhedrien eri luokista on luokiteltu edellä esitettyjen kriteerien mukaisesti:

Homogeeninen neliulotteinen monitahoinen (vertex-transitiivinen).

• Kupera yhtenäinen 4-polyhedra (64, plus kaksi ääretöntä perhettä)
  • 47 ei-prismaattista kuperaa yhtenäistä 4-polytooppia sisältävät:
    • 6 säännöllistä neliulotteista monitahoista .
  • Prismaattinen yhtenäinen polyhedra :
    • {} × {p, q} : 18 monitahoista prismaa (mukaan lukien kuutiohyperprismat, säännölliset hyperkuutiot );
    • Antiprismille rakennetut prismat (ääretön perhe);
    • {p} × {q} : Duoprismat (ääretön perhe).
• Ei-kupera homogeeninen neliulotteinen polyhedra (10 + tuntematon):
  • 10 (tavallista) Schläfli-Hessin polytooppia ;
  • 57 hyperprismaa, jotka on rakennettu ei- kuperille yhtenäisille polyhedraille ;
  • Tuntematon määrä ei-kuperia homogeenisia neliulotteisia monitahoja - Norman Johnson ja muut kirjoittajat löysivät 1849 polyhedraa (kupera ja tähtikuvioinen); ne kaikki on rakennettu huippukuvioihin Stella4D - ohjelmalla [5] .

Muut kupera 4D-polyhedra:

• Monitahoinen pyramidi ;
• Monitahoinen prisma .

Äärettömät homogeeniset 4-ulotteiset polyhedrat euklidisessa 3-ulotteisessa avaruudessa (homogeeniset tessellaatiot kuperilla homogeenisilla soluilla):

• 28 kuperaa yhtenäistä hunajakennoa (tasainen kupera laatoitus), mukaan lukien:
  • 1 tavallinen laatoitus, kuution kenno: {4,3,4}.

Äärettömät homogeeniset neliulotteiset polyhedrat hyperbolisesta kolmiulotteisesta avaruudesta (homogeeniset tessellaatiot kuperilla homogeenisilla soluilla):

• 76 Wythoffin kuperia yhtenäisiä hunajakennoja hyperbolisessa avaruudessa mukaan lukien:
  • 4 säännöllistä laatoitusta kompaktista hyperbolisesta 3D-avaruudesta : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Kaksoishomogeeninen neliulotteinen polyhedra ( solutransitiivinen ):

• 41 ainutlaatuista kaksoishomogeenista neliulotteista polyhedraa;
• 17 ainutlaatuista kaksoishomogeenistä monitahoista prismaa;
• ääretön perhe kaksoiskuperia homogeenisia duoprismoja (epäsäännöllisillä tetraedrisillä soluilla);
• 27 ainutlaatuista kaksoishomogeenistä solua, mukaan lukien:
  • Rombinen dodekaederinen hunajakenno ;
  • Isoedriset tetraedriset hunajakennot .

Muuta:

• Weir-Phelan-rakenne jaksollisesti tilan täyttävistä hunajakennoista, joissa on epäsäännöllisiä soluja.

Abstrakti säännöllinen neliulotteinen polyhedra :

• yksitoista solu ;
• Viisikymmentäseitsemän solua .

Näihin luokkiin kuuluvat vain neliulotteiset polyhedrat, joilla on korkea symmetria. Monia muitakin neliulotteisia monitahoja saattaa olla olemassa, mutta niitä ei ole tutkittu yhtä intensiivisesti kuin yllä lueteltuja.

Katso myös

• Säännöllinen neliulotteinen monitahoinen
• 3-pallo on toinen laajalti keskusteltu hahmo, joka sijaitsee neliulotteisessa avaruudessa. Mutta se ei ole neliulotteinen monitahoinen, koska se ei rajoitu monitahoisiin soluihin.
• Duosylinteri on duoprismiin liittyvä neliulotteisen avaruuden hahmo, vaikka se ei myöskään ole monitahoinen.

Muistiinpanot

1. ↑ Vialar, 2009 , s. 674.
2. ↑ Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010 , s. 598.
3. ↑ 1 2 3 4 Richeson, D.; Eulerin helmi: Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.
4. ↑ Englannissa käytetään sanaa scaliform , joka muodostuu kahdesta sanasta - scale (polysemanttinen sana, tässä - koko, asteikko) ja yhtenäinen (homogeeninen). Jonathan Bowersin ehdottama nimi
5. ↑ Uniform Polychora , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 tapausta vuonna 2005

Kirjallisuus

• T. Vialar. Monimutkainen ja kaoottinen epälineaarinen dynamiikka: Taloustieteen ja rahoituksen edistysaskel. - Springer, 2009. - S. 674. - ISBN 978-3-540-85977-2 .
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Matematiikan sovellukset malleissa, keinotekoisissa hermoverkoissa ja taiteissa. - Springer, 2010. - S. 598. - ISBN 978-90-481-8580-1 . - doi : 10.1007/978-90-481-8581-8 .
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
  • HSM Coxeter . Tavalliset polytoopit . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kaleidoskoopit: Valitut HSM Coxeterin kirjoitukset / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience -julkaisu, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Paperi 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paperi 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway , MJT kaveri. Kööpenhaminan konveksiteettia käsittelevän kollokvion julkaisut. - 1965. - S. 38-39.
• Norman Johnson . Yhdenmukaisten polytooppien ja hunajakennojen teoria. — Ph.D. Väitöskirja. - Toronton yliopisto, 1966.
• Neliulotteiset Archimedean polytoopit (saksa), Marco Möller, 2004 PhD-väitöskirja [1]

Linkit

• Weisstein, Eric W. Polychoron  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Weisstein, Eric W. Polyhedral formula  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Weisstein, Eric W. Säännölliset polychoronin Euler-ominaisuudet  (englanniksi) Wolfram MathWorldissä . * George
• Neliulotteiset hahmot -sivu
• George Olshevsky Polychoron hyperavaruuden sanastossa
• Univormu Polychora , Jonathan Bowers
• Uniform polychoron Viewer — Java3D-sovelma lähteillä
• DR. R. Klitzing, polychora