Nenäkärkinen kaksikymmentäneljä solu

Nenäkärkinen kaksikymmentäneljä solu
Ortogonaalinen projektio kolmiulotteiseen avaruuteen - ikosaedrisen solun läpi kulkevaan hypertasoon
Tyyppi	Yhtenäinen monisoluinen
Schläfli-symboli	s{3,4,3} sr{3,3,4} s{3 1,1,1 }
soluja	144
kasvot	480
kylkiluut	432
Huiput	96
Vertex figuuri	Kolminkertaisesti leikattu ikosaedri

Nukkanenäinen 24 - soluinen on neliulotteinen monitahoinen , yksi 47:stä ei-prismaattisesta kuperasta homogeenisesta monisolusta ja yksi kolmesta puolisäännöllisestä monisolusta (koska se koostuu kahdesta erityyppiset platoniset kiinteät aineet ).

Sen kuvaili ensimmäisen kerran 1900-luvulla julkaistussa artikkelissa Thorold Gosset [1] , joka kutsui monisolua tetrikosaedriksi , koska sen solut ovat tetraedrisiä ja ikosaedreja. Tunnetaan myös nimellä snub-nosed icositetrachore , semi-snub polyoctahedron ( eng. semi-snub polyoctahedron ) [2] .

Kuvaus

Rajoitettu 144 kolmiulotteiseen soluun - 120 säännöllistä tetraedria ja 24 säännöllistä ikosaedria . Jokaista ikosaedristä solua ympäröi kahdeksan ikosaedriä ja kaksitoista tetraedria. Tetraedrisolut on jaettu kahteen ryhmään: 24 niistä ympäröi neljä tetraedrisolua, loput 96 ympäröi kolme ikosaedrisolua ja tetraedrisolu.

Sen 480 kaksiulotteista pintaa ovat identtisiä säännöllisiä kolmioita . 96 pintaa erottaa kaksi ikosaedristä solua, 96 puolta erottaa kaksi tetraedristä solua, loput 288 - ikosaedriset ja tetraedriset.

Siinä on 432 yhtä pitkää kylkiluuta. Kolme pintaa ja kolme solua kukin (kaksi ikosaedriä ja yksi tetraedri) yhtyvät 288 reunaan, neljä pintaa ja neljä solua kukin (ikosaedri ja kolme tetraedri) konvergoivat jäljellä oleviin 144 reunaan.

Siinä on 96 kärkeä. Jokaisessa kärjessä on 9 reunaa, 15 pintaa ja 8 solua (kolme ikosaedriä ja viisi tetraedria).

Kuudensadasta solusta voidaan saada nukkanenäinen kaksikymmentäneljä solu leikkaamalla siitä pois 24 ikosahedristä pyramidia - niin, että niiden sijaan jää vain niiden kanta. Tuloksena olevan monisolun kärjet ovat 96 kuusisadan solun 120 pisteestä (ja poistetut 24 pistettä muodostavat tavallisen 24- solun kärjet ); kylkiluut - 432 kuudestasadan solun 720 kylkiluusta; kasvot - 480 kuudestasadasta solusta 1200:sta. Tästä käy selvästi ilmi, että nukkanenäisessä 24-solussa on myös rajatut ja molemmat puolikirjoitetut kolmiulotteiset hyperpallot , ja ne ovat yhteneväisiä alkuperäisen kuusisadan solun rajattujen ja puolikirjoitettujen hyperpallojen kanssa.

Koordinaateissa

Snopnenäinen 24-solu, jonka reunan pituus on, voidaan sijoittaa karteesiseen koordinaattijärjestelmään siten, että sen kärkien koordinaatit ovat kaikki mahdollisia jopa lukujoukkojen permutaatioita , joissa on kultaisen leikkauksen suhde . $2$ $\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\right),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Tässä tapauksessa koordinaattien origo on monisolun symmetriakeskus sekä sen rajattujen ja puolikirjoitettujen hyperpallojen keskipiste. $\left(0;\;0;\;0;\;0\right)$

Ortogonaaliset projektiot tasossa

Metrinen ominaisuudet

Jos nukkanenäisellä 24-solulla on reunan pituus, sen neliulotteinen hypertilavuus ja kolmiulotteinen pinnan hyperala ilmaistaan vastaavasti seuraavasti : $a,$

V_{4}=5\left({\frac {9}{4}}+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\noin 22{,}4303399a^{4},

S_{3}=10\left(3+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\noin 66{,}5028154a^{3}.

Kuvatun hyperpallon säde (joka kulkee monisolun kaikkien kärkien läpi) on tällöin yhtä suuri kuin

R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\noin 1{,}6180340a,

ulomman puolikirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia reunoja niiden keskipisteissä) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\noin 1{,}5388418a,

sisemmän puolikirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia kasvoja niiden keskuksissa) -

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\noin 1{,}5115226a .

Hypersfääriä on mahdotonta sovittaa nukkanenäiseen 24-soluun niin, että se koskettaa kaikkia soluja. Suurimman hypersfäärin säde, joka voidaan sijoittaa nukkakärkisen 24-solun sisään, jossa on reuna (se koskettaa vain kaikkia niiden keskuksissa olevia ikosaedrisoluja) $a$

r_{I}={\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\noin 1{,}3090170a.

Etäisyys monisolun keskustasta mihin tahansa tetraedrisoluun ylittää ja on yhtä suuri kuin ${\displaystyle r_{I))$

r_{T}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\noin 1{,}4976762a.

Tilan täyttö

Neliulotteisella 24 solulla, 16 solulla ja viidellä solulla voit laatoittaa neliulotteisen tilan ilman aukkoja ja päällekkäisyyksiä (katso artikkeli englanninkielisessä Wikipediassa). Tämän täytteen löysi myös Thorold Gosset.

Muistiinpanot

↑ Thorold Gosset. Säännöllisistä ja puolisäännöllisistä hahmoista n-mitan avaruudessa. — Matematiikan sanansaattaja, voi. 29. - Macmillan, 1900. - s. 43-48.
↑ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 . - s. 401.

Linkit

George Olshevsky. Print #11: Snub icositetrachoron verkko