Stellattu monitahoinen ( tähtirunko ) on ei-kupera monitahoinen , jonka pinnat leikkaavat toisiaan. Kuten ei-stellatoidussa polyhedrassa , pinnat yhdistetään pareittain reunoista (tässä tapauksessa sisäisiä leikkausviivoja ei pidetä reunoilla).
Monitahoisen tähtimuoto on monitahoinen, joka saadaan ojentamalla tietyn monitahoisen pinnat reunojen läpi niiden seuraavaan leikkauspisteeseen muiden pintojen kanssa uusia reunoja pitkin.
Säännölliset tähtipolyhedrat ovat tähtipolyhedrat, joiden pinnat ovat identtisiä ( yhtenäisiä ) säännöllisiä tai tähtipolygoneja . Toisin kuin viisi klassista säännöllistä polyhedraa ( platoniset kiinteät aineet ), nämä polyhedrat eivät ole kuperia kiinteitä aineita.
Vuonna 1811 Augustin Lou Cauchy totesi , että on vain 4 säännöllistä tähtikappaletta (niitä kutsutaan Kepler-Poinsot-kappaleiksi ), jotka eivät ole platonisten ja tähtikappaleiden yhdisteitä. Näitä ovat Johannes Keplerin vuonna 1619 löytämä pieni tähtikuvioinen dodekaedri ja suuri tähtikuvioinen dodekaedri sekä Louis Poinsotin vuonna 1809 löytämä suuri dodekaedri ja suuri ikosaedri . Jäljelle jääneet säännölliset tähtipolyhedrat ovat joko platonisten kiinteiden aineiden yhdisteitä tai Kepler-Poinsot-kiinteiden aineiden yhdisteitä [1] .
Puolisäännölliset tähtipolyedrit ovat tähtipolyhedrat, joiden pinnat ovat säännöllisiä tai tähtipolygoneja , mutta eivät välttämättä samoja. Tässä tapauksessa kaikkien kärkien rakenteen on oltava sama (homogeenisuusehto). G. Coxeter , M. Longuet-Higgins ja J. Miller listasivat vuonna 1954 53 tällaista ruumista ja esittivät hypoteesin luettelonsa täydellisyydestä [2] . Vasta paljon myöhemmin, vuonna 1969 , Sopov S.P. onnistui todistamaan, että heidän esittämänsä monitahoisten luettelo on todella täydellinen.
Luonto itse ehdottaa monia monitahoisten monitahojen muotoja. Esimerkiksi lumihiutaleet ovat litteitä heijastuksia tähtikuvioisista polyhedraista. Joillakin molekyyleillä on kolmiulotteisten hahmojen oikeat rakenteet.
Näissä kuvissa jokainen kasvot on maalattu omalla värillään kauneuden ja selkeyden vuoksi.
Tasaiset polyhedrat - säännölliset ja puolisäännölliset kuperat polyhedrat (platoniset ja arkimedelaiset kiinteät aineet); säännöllisiä ja puolisäännöllisiä tähtipolyhedreita kutsutaan yhteisesti yhtenäisiksi monitahoiksi. Näille kappaleille kaikki pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita (kuperia tai tähden muotoisia) ja kaikki kärjet ovat samoja (eli monitahoista on ortogonaalisia muunnoksia itseensä, mikä siirtää minkä tahansa kärjen johonkin toiseen). Tasaisia polyhedraja on tasan 75.
Tetraederillä ja heksaedrilla ( kuutiolla ) ei ole tähtimuotoa, koska niiden pinnat eivät enää leikkaa toisiaan, kun ne ojennetaan reunojen läpi.
Oktaedrissa on vain yksi tähti . Tähtimäisen oktaedrin löysi Leonardo da Vinci , minkä jälkeen I. Kepler löysi sen uudelleen lähes 100 vuotta myöhemmin ja antoi hänelle nimen Stella octangula - kahdeksankulmainen tähti. Tästä syystä tällä lomakkeella on toinen nimi: "Kepler's stella octangula"; itse asiassa se on kahden tetraedrin yhdiste .
Dodekaedrissa on 3 tähtiä: pieni tähtikuvioinen dodekaedri , suuri dodekaedri , suuri tähtikuvioinen dodekaedri (stellattu suuri dodekaedri, lopullinen muoto). Toisin kuin oktaedri, mikään dodekaedrin tähti ei ole platonisten kiinteiden aineiden yhdiste , vaan muodostaa uuden monitahoisen.
Suuren dodekaedrin pinnat ovat viisikulmioita, jotka kohtaavat viisi kussakin kärjessä. Pienillä ja suurilla tähtikuvioiduilla dodekaedreilla on kasvot - viisisakaraiset tähdet (pentagrammit), jotka ensimmäisessä tapauksessa lähentyvät 5 ja toisessa 3 kasvot yhdessä kärjessä.
Suuren tähtikuvioisen dodekaedrin kärjet ovat samat kuin rajatun dodekaedrin kärjet.
Ikosaedrissa on 59 tähtiä, joista 32:lla on täydellinen ja 27:llä epätäydellinen ikosaedrisymmetria, minkä Coxeter todisti yhdessä Duvalin, Flazerin ja Petrien kanssa käyttämällä J. Millerin määrittelemiä rajoitussääntöjä. Yksi näistä tähtikuvioista (20., malli 41 Wenningerin mukaan), jota kutsutaan suureksi ikosaedriksi (katso kuva), on yksi neljästä säännöllisestä Kepler-Poinsot-tähtikuviopolyhedrasta . Sen pinnat ovat säännöllisiä kolmioita, jotka suppenevat jokaisessa kärjessä viisi; tämän ominaisuuden jakaa suuri ikosaedri ikosaedrin kanssa.
Tähtimuotojen joukossa on myös: viiden oktaedrin yhdiste , viiden tetraedrin yhdiste , kymmenen tetraedrin yhdiste . Ensimmäinen tähti on pieni kolmiosainen ikosaedri .
Jos kutakin kasvoja jatketaan loputtomiin, niin kehoa ympäröivät monet erilaiset osastot - kasvojen tasojen rajoittamat tilan osat. Kaikki ikosaedrin tähtimuodot voidaan saada lisäämällä tällaisia osastoja alkuperäiseen runkoon. Itse ikosaedrin lisäksi sen pintojen jatkeet on erotettu avaruudesta 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 osastolla , jotka ovat kymmenen eri muotoista ja kokoista. Suuri ikosaedri koostuu kaikista näistä kappaleista viimeisiä kuusikymmentä lukuun ottamatta. Seuraava tähtimuoto on viimeinen.
Kuuboktaedrissa on 4 tähtiä, jotka täyttävät Millerin asettamat rajoitukset. Ensimmäinen näistä on kuution ja oktaedrin yhdistelmä.
Ikosidodekaedrilla on monia tähtiä, joista ensimmäinen on ikosaedrin ja dodekaedrin yhdistelmä.
Ikosidodekaedrilla on 32 pintaa, joista 12 on säännöllisiä viisikulmaisia sivuja ja loput 20 ovat säännöllisiä kolmioita.
Stellaation tarkoitetaan prosessia, jossa monitahoinen rakennetaan toisesta monitahoisesta laajentamalla sen pintaa. Tätä varten piirretään tasoja alkuperäisen monitahoisen pintojen läpi ja otetaan huomioon kaikki mahdolliset näiden tasojen leikkauspisteen tuloksena saadut reunat ja valitaan sopivat [4] .
Kuutio ja tetraedri eivät salli stellaatiota. Oktaedrilla on yksi rakenne - tähtikuvioinen oktaedri . Dodekaedri antaa kolme tähtimuotoa.
| Ikosaedrin tähtimuodot | |
|---|---|
| |