Echidnahedron

Echidnahedron
Symmetria ryhmä	Ikosaedri ( I h )
Tyyppi	tähtikuvioinen ikosaedri
Merkintä	Du Val: K Weninger : L 42
Elementit (tähtipolyhedronin muodossa)	G = 20, P = 90 V = 60 ( χ = −10)
Elementit (tähdistön ikosaedrin muotoiset)	G = 180, P = 270 V = 92 ( χ = 2)
Ominaisuudet (tähtipolyhedrina)	Vertex-transitiivinen , reuna-transitiivinen
Enneagrammi Echidnahedron Tähtipolyhedronin ydin kupera runko ikosaedri Katkaistu ikosaedri

Echidnahedron ( eng.  echidnahedron ) on ikosaedrin [ 1] [2] viimeinen tähti , jota kutsutaan myös ikosaedrin täydelliseksi tai lopulliseksi muodoksi, koska se sisältää kaikki ikosaedrin tähtikaavion solut .

Max Brückner kuvasi ekidnaedrin ensimmäisen kerran vuonna 1900. Echidnahedronin nimen antoi Andrew Hume, koska sen avaruuskulmat pisteissä ovat pieniä, mikä saa sen näyttämään piikkisiililtä tai echidnalta [ 3 ] .

Esitys

Perustuu Branko Grünbaumin tieteellisen kirjallisuuden analyysiin artikkelissa "Voiko monitahojen jokaisella tasolla olla monta sivua?" ("Voiko monitahoisen jokaisella kasvolla olla monta puolta?") huomauttaa, että polyhedrin tarkastelussa on ainakin kolme erilaista tapaa. Echidnahedronin tapauksessa nämä ovat:

• 180 kolmion muotoisen pinnan liitos;
• 20 itsensä leikkaavan kasvon leikkaus - enneagrammit ;
• 18 kulman tähtipolygonien leikkauspiste [4] .

Ikosaedrin tähdistön muodossa

Kuten monitahoisen yksinkertainen, näkyvä pinta, ehidnaedrin ulkomuoto koostuu 180 kolmiomaisesta pinnasta, jotka muodostavat 270 reunaa, jotka puolestaan ​​kohtaavat 92 kärjessä [5] .

Echidnahedronin kaikki kärjet sijaitsevat kolmen samankeskisen pallon pinnalla. 20 kärjen sisäryhmä muodostaa säännöllisen dodekaedrin kärjet ; seuraava 12 kärjen kerros muodostaa säännöllisen ikosaedrin kärjet ; ja 60 kärjen ulkokerros muodostaa katkaistun ikosaedrin kärjet [6] .

Jokaisen kärkipallon kuperat rungot

Sisäinen	Keskikokoinen	Ulkoinen	Kaikki kolme
20 huippua	12 huippua	60 huippua	92 huippua
Dodekaedri	ikosaedri	Katkaistu ikosaedri	Echidnahedron

Stellallisen polyhedronin muodossa

Ikosaedrin lopullinen tähtikuva voidaan nähdä myös itsensä leikkaavana monitahoisena monitahoisena , jossa on 20 pintaa, jotka vastaavat ikosaedrin 20 pintaa. Jokainen kasvo on epäsäännöllinen tähtipolygoni (tai enneagrammi ) [7] . Kukin kolme pintaa muodostavat yhden kärjen, joten ehidnaedrissä on 20 × 9 ÷ 3 = 60 kärkeä (tämä ulompi kärkikerros muodostaa "piikkien" kärjet) ja 20 × 9 ÷ 2 = 90 reunaa (kukin stellateisen polyhedronin reuna sisältää 2 180 näkyvästä monitahoisesta reunasta).

Ikosaedrin lopullisena muotona

Tämä monitahoisen tähtimuoto muodostetaan kiinnittämällä ikosaedriin kaikki osat, jotka on saatu laajentamalla ikosaedrin pintoja äärettömillä tasoilla [8] . Näin syntyy uusi monitahoinen, jota rajaavat nämä tasot pinnoina, ja näiden tasojen leikkauspisteet ovat reunoja. Kirja Fifty-nine Icosahedrons luettelee ikosaedrin (mukaan lukien ekidnaedrin) tähtikuviot Geoffrey Millerin [1] esittämien sääntöjen mukaisesti .

Ominaisuudet

Nimet ja luokitus

• Du Valin [9] ekidnaedrin symboli on H , koska se sisältää kaikki konstellaatiokaavion solut, mukaan lukien uloimman tason, "h"-tason [10] .
• Magnus Wenningerin kirjassa Models of Polyhedra ekidnaedrin indeksi on W 42 [2] .
• Jos ehidnaedrin pinnat olisivat säännöllisiä annagrammeja, sitä voitaisiin pitää säännöllisenä monitahoisena Schläfli-symbolilla {9/4,3}. Tämä tarkoittaa, että 3 pintaa suppenee jokaisessa kärjessä, jossa jokainen pinta on epäsäännöllinen 9/4 tähden monikulmio [7] .

Ominaisuudet

• Echidnaedrin Euler-ominaisuus on 2 [5] . Tämä ominaisuus lasketaan kaavan mukaan, jossa Г, Р ja В ovat pintojen, reunojen ja kärkien lukumäärät, vastaavasti.
• Jos tarkastellaan ekidnaedria tähtikuvioisena monitahoisena, niin ikosaedrin lopullinen muoto on jalo monitahoinen , koska se on isohedraalinen (kasvotransitiivinen) ja isogonaalinen (vertex-transitiivinen) .

Kaavat

• Jos tarkastellaan ekidnaedria geometrisena kappaleena , jonka reunapituudet a , Φ a , Φ 2 a ja Φ 2 a √2 (missä Φ on kultainen suhde ), ekidnaedrin pinta-ala on [6]

ja tilavuus [6]

• Niiden pallojen säteet, joilla ehidnaedrin kärjet sijaitsevat, ovat suhteessa [6]

• Vakiotiheyden ekidnaedrin inertiatensori voidaan esittää 3×3 diagonaalimatriisina, jonka diagonaaliset pääelementit ovat yhtä suuret (missä M  on kokonaismassa) [6] .

Historiallinen ääriviiva

Echidnahedron kuuluu tähtikuvioituihin monitahoihin , jotka kuvattiin ensimmäisen kerran tieteellisessä kirjallisuudessa vuonna 1619 Johannes Keplerin tutkielmassa Harmonices Mundi . Kepler antoi matemaattisen perustelun kahden säännöllisen tähtikuvioisen monitahoisen tyypin ominaisuuksille : pienen tähtimuodostetun dodekaedrin ja suuren tähtimuodostetun dodekaedrin [11] . Paljon myöhemmin, vuonna 1809,  Louis Poinsot löysi uudelleen Kepler-polyhedran ja löysi myös kaksi muuta monitahoista monitahoa: suuren dodekaedrin ja suuren ikosaedrin , joita nykyään kutsutaan Kepler-Poinsot-kiintoaineiksi [12] . Ja vuonna 1812 Augustin Cauchy osoitti, että säännöllisiä tähtikuvioita on vain neljää tyyppiä [7] [11] .

Max Brückner kuvasi ekidnaedrin ensimmäisen kerran vuonna 1900 klassisessa polyhedra-teoksessa "Polygons and Polyhedra", jossa sen lisäksi kuvattiin 9 muuta ikosaedrin tähtimuotoista muotoa [13] . Siitä lähtien ekidnaedri alkoi esiintyä muiden matemaatikoiden teoksissa, eikä sillä ollut yhtä nimitystä. Vuonna 1924 Albert Willer julkaisi luettelon 20 stellatiosta (22 mukaan lukien kopiot), mukaan lukien echidnahedron [14] . Järjestelmällisimmän ja täydellisimmän tähtikuvioisen polyhedrin tutkimuksen suoritti Harold Coxeter yhdessä Patrick du Valin , Flaserin ja John Petrien kanssa vuonna 1938 kirjassa Fifty-nine Icosahedrons , jossa he sovelsivat J. Millerin määrittelemiä rajoitussääntöjä. Coxeter osoitti, että ikosaedrin tähtiä on vain 59, joista 32:lla on täydellinen ja 27:llä epätäydellinen ikosaedrisymmetria. Echidnahedron sijoittuu kirjassa kahdeksanneksi [1] . Magnus Wenningerin teoksessa Models of Polyhedra vuonna 1974 ekidnaedri sisältyy ikosaedrin 17. mallina indeksillä W 42 [2] .

Nykyaikaisen nimen ikosaedrin viimeiselle tähtikirjaimelle antoi Andrew Hume vuonna 1995 Netlib-tietokannassaan nimellä echidnahedron 15] ( echidna eli piikkimuurahaiskarva , pieni nisäkäs , joka on peitetty karkeilla hiuksilla ja piikkeillä, käpertyy palloksi puolustaakseen itse).

Netlib-tietokanta kattaa kaikki tavalliset polytoopit , Archimedean solids , sarjan prismoja ja antiprismoja , kaikki Johnsonin polytoopit

(kupera polyhedra, jossa jokainen pinta on säännöllinen monikulmio) ja parittomat polyhedrat, mukaan lukien ekidnaedri (nimeni, itse asiassa ikosaedrin lopullinen muoto).

Alkuperäinen teksti  (englanniksi)[ näytäpiilottaa] "Se (Netlib) kattaa kaikki säännölliset polyhedrat, arkimedelaiset solidit, joukon prismoja ja antiprismoja, ja kaikki Johnson-polyhedrat (kaikki kupera polyhedra, jolla on säännölliset monikulmiopinnat) ja joitain parittomat kiintoaineet mukaan lukien ekidnaedrin (nimeni; se on itse asiassa lopullinen ikosaedrin tähti). - [3]

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 3 Coxeter ja muut, 1999 .
2. ↑ 1 2 3 Weninger, 1971 .
3. ↑ 1 2 Polyhedrien tietokanta .
4. ↑ Branko Grünbaum, 2008 , s. viisitoista.
5. ↑ 12 Polyhedra.org . _
6. ↑ 1 2 3 4 5 Echidnahedron MathWorldissä .
7. ↑ 1 2 3 Peter Cromwell, 1997 .
8. ↑ Weninger malli #42 .
9. ↑ Du Val keksi symbolisen merkinnän yhtenevien solujen ryhmien tunnistamiseen perustuen havaintoon, että ne sijaitsevat "kuorissa" alkuperäisen ikosaedrin ympärillä.
10. ↑ Peter Cromwell, 1997 , s. 259.
11. ↑ 12 MathWorld . _
12. ↑ Louis Poinsot, 1810 .
13. ↑ Max Brückner, 1900 .
14. ↑ Albert Willer, 1924 .
15. ↑ Andrew Humen malli 141 .

Kirjallisuus

• Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H.T. Flather , JF Petrie. Fifty-Nine Icosahedra = Fifty-Nine Icosahedra. - 3. painos - Tarquin, 1999. - S.  30-31 . - 72 s. - ISBN 978-1-899618-32-3 .
• Magnus J. Weninger. Polyhedron Models = Polyhedron Models. - Cambridge University Press, 1971. - s. 65. - ISBN 0-521-09859-9 .
• Louis Poinsot. Huomautuksia polygoneista ja polyhedraista = Memoire sur les polygones et polyèdres. - J. de l'École Polytechnique, 1810. - P. 16-48.
• Peter R. Cromwell. Polyhedra = Polyhedra. - Cambridge University Press, 1997. - S. 268. - ISBN 0-521-66405-5 .
• Max Bruckner. Monikulmiot ja polyhedrat: teoria ja historia = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. - Leipzig: BG Teubner Verlag, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .
• A. H. Wheeler. Tietyt   ikosaedrin muodot ja menetelmä korkeampien polyhedrien johtamiseksi ja osoittamiseksi // Proc . Internat. Matematiikka. kongressi. - Toronto, 1924. - Voi. 1. - s. 701-708.
• Gerald Jenkins, Magdalen Bear. Ikosaedrin lopullinen stellaation: Edistyksellinen matemaattinen malli leikkaamiseen ja liimaamiseen. - Norfolk, Englanti: Tarquin Publications, 1985. - ISBN 978-0-906212-48-6 .
• Branko Grunbaum. Voiko monitahoisen kullakin pinnalla olla monta sivua?  (Suomi)  = Voiko monitahoisen jokaisella pinnalla olla monta puolta?. - 2008. - s. 15.

Linkit

• Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra- tietokanta  . Google.com. Haettu: 26. lokakuuta 2014.
• Andrew Hume. Polyhedron-tietokanta Netlib, malli  141 . Haettu: 7.11.2014.
• Eric Weisstein. Kepler- Poinsot Solid  . Mathworld.wolfram.com. Haettu: 26. lokakuuta 2014.
• Eric Weisstein. Echidnahedron  (englanniksi) . Mathworld.wolfram.com. Haettu: 26. lokakuuta 2014.
• Eric Weisstein. Ikosaedrin  tähtikuvat . Mathworld.wolfram.com. Haettu: 7.11.2014.
• Ralph Jones. Ohjeet ekidnaedrin mallin rakentamiseen  ( Microsoft Word(.doc)). Haettu 26. lokakuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 4. lokakuuta 2011.
• Guy Inchbald. Kohti ikosaedrin stellointia ja  dodekaedrin fasetointia . Haettu: 7.11.2014.
• Echidnahedron  (englanniksi) . Honeylocust Media Systems (2006). Haettu 26. lokakuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 7. lokakuuta 2008.
• Ikosaedrin lopullinen tähtikuva . Weninger.narod.ru. Haettu: 3.11.2014. (Venäjän kieli)

Ikosaedrin tähtimuodot
Ikosaedri (0) Pieni kolmiosainen ikosaedri (1) Viiden oktaedrin yhdistelmä (2) Viiden tetraedrin yhdiste (12) Kymmenen tetraedrin yhdiste (13) Kaivettu dodekaedri (30) Suuri ikosaedri (45) Echidnahedron (58)