Inertian tensori

Inertian tensori - ehdottoman jäykän kappaleen mekaniikassa - on tensorisuure , joka suhteuttaa kappaleen kulmamomentin ja sen pyörimisen kineettisen energian kulmanopeuteen :

\ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}

missä on inertiatensori, on kulmanopeus, on kulmamomentti $\J$ $\ {\vec {\omega ))$ ${\vec {L}}$

\ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}

\ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \yli 2 m}

komponenteissa se näyttää tältä:

\ L_{i}=\summa _{j}J_{{ij}}\omega _{j}

\ E_{{kin\ rot}}={1 \over 2}\sum _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}

Käyttämällä N materiaalipisteen järjestelmän kulmaliikemäärän määritelmää (numeroitu uudelleen alla olevissa kaavoissa indeksillä k ):

\ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec { v}}_{k}\ )\ ]

ja nopeuden kinemaattinen lauseke kulmanopeudella:

\ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]

ja verrattaessa kaavaan, joka ilmaisee kulmamomentin inertiatensorina ja kulmanopeudena (ensimmäinen tässä artikkelissa), ei ole vaikeaa saada eksplisiittinen lauseke inertiatensorille:

\ J_{ij}=\sum _{k}\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k} })\

tai jatkuvassa muodossa:

\ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j})\ dm=\int (\delta _{ij}r^{2} -r_{i}r_{j})\ \rho dV

missä r ovat etäisyydet pisteistä keskustaan, johon suhteutettuna inertiatensori lasketaan, ja r i ovat vastaavien segmenttien koordinaattikomponentit, i ja j ovat koordinaattiluvut (1-3), kun taas indeksi k (1 - N) diskreetissä kaavassa luettelee järjestelmän pisteitä tai pieniä osia, jotka muodostavat sen.

Jo näistä kaavoista näkyy selvästi, että minkä tahansa kappaleen inertiatensori riippuu pisteestä, johon se lasketaan. Yleensä valittua roolia esittää inertian tensori suhteessa kehon massakeskipisteeseen (siis p kolmannessa kaavassa on vain kehon liikemäärä ). Voi myös olla tarkoituksenmukaista käyttää hitausmomenttia, joka on laskettu suhteessa rungon kiinteään (kiinteään) pisteeseen tai kiinteällä pyörimisakselilla sijaitsevaan pisteeseen. Uuden keskuksen inertiatensorin uudelleenlaskenta, kun se tiedetään suhteessa vanhaan, helpottaa Steiner-lauseen toteuttamista (sen avulla voit myös tehdä tämän uudelleenlaskennan muodossa, esimerkiksi kineettisen energian kaavan avulla, mikä mahdollistaa voit käyttää vain inertiatensoria suhteessa massakeskipisteeseen).

Samoista kaavoista voidaan nähdä, että tämä on symmetrinen tensori, eli J ij =J ji .

Jatkuvassa muodossa kaava voidaan johtaa seuraavasti:

{\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \ int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV

Mistä saamme Lagrangen kaavan mukaan

{\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {\omega }}\cdot r^{2}-{\vec {r}}({ \vec {\omega )),\ {\vec {r)))\ ]dV

Kirjoitamme vektorien hajotuksen ja ortonormaalilla perusteella: $\ {\vec {v))$ $\ {\vec {r))$

\ {\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

\ {\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}

Skalaaritulon ominaisuuksien perusteella

{\displaystyle \ ({\vec {\omega )),\ {\vec {r)))=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z))

Ottaen huomioon, että voimme kirjoittaa liikemäärävektorin projektiot akselille: $\ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x (x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\oikea)dV

Tai tuo samat ehdot

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy -\omega _{z}xz\right)dV

samoin

L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx -\omega _{z}yz\right)dV

L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx -\omega _{y}zy\right)dV

Otetaan käyttöön merkintä:

J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV

J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV

J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV

J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV

J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV

J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV

Niistä voimme muodostaa inertiatensorin matriisimuodossa:

J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz }\\\end{vmatrix}}

On helppo tarkistaa, että merkintätapamme mukaan tensoriyhteys on totta:

\left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z} \\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx} \omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.

Kuten mikä tahansa symmetrinen tensori, inertiatensori voidaan diagonalisoida, eli löytää kolme ortogonaalista koordinaattiakselia ( ominaisakselit , joiden ortit ovat ominaisvektoreita ja muodostavat inertiatensorin oman perustan ) - jäykästi kytkettynä, tietysti jäykällä kappaleella - jonka inertiatensorin matriisi on diagonaalinen ja sen ominaisarvot (inertiatensorin ominaisarvot) määräävät kappaleen päähitausmomentit [1] .

On helppo nähdä, että päähitausmomentit ovat samat kuin pääakseleiden aksiaaliset hitausmomentit:

\ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm

\ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm

\ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm

(Huomaa: x, y ja z näissä kaavoissa tarkoittavat täsmälleen pääakseleita, jos haluamme osua yhteen pääpisteiden kanssa).

Kaikissa tämän artikkelin kaavoissa oletettiin ortonormaalin perustan käyttöä , joten käytetään vain alempia tensoriindeksejä, koska tässä tapauksessa ylemmän ja alemman indeksin välillä ei ole eroa.
Inertiatensoria voidaan pitää yleistyksenä hitausmomentin käsitteestä akselin ympäri ; näiden suureiden yhteys - katso artikkeli Hitausmomentti (jossa inertiatensorin ominaisarvot on merkitty muodossa ). Artikkelia viitteellisesti luettaessa on syytä pitää mielessä jokin ero merkinnöissä, joten siinä artikkelissa ei ole ilmoitettu inertiatensorin vastaavia komponentteja, vaan keskipakohitausmomentteja, jotka ovat absoluuttisesti yhteneväisiä vastaavien komponenttien kanssa. tensorista, mutta niillä on päinvastainen merkki. ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$ ${\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx))$

Muita termin

Joskus termiä inertian tensori käytetään matemaattisesti samankaltaisiin rakenteisiin, joilla ei ole suoraa mekaanista merkitystä, esimerkiksi jos ρ kaavoissa ei ole massatiheys, vaan muiden suureiden tiheys, esimerkiksi tilastollisen suuren tiheys. jakelu ; ja tila, jossa laskenta tapahtuu, voi periaatteessa olla mikä tahansa, vaikka kaikkien akseleiden samanluonteinen tapaus (eli samat mittayksiköt niitä pitkin) on merkityksellisin. Tämä termin käyttö on suora geometrinen analogia, kuten myös termien, kuten massakeskipiste tai painopiste , käyttö samanlaisessa yhteydessä.

Käytettäessä termiä inertiatensori jakautumistiheyksissä, varsinkin jos sitä tarkastellaan suhteessa "painopisteeseen", puhumme olennaisesti kovarianssimatriisista , ja sen ominaisvektorien ja ominaisarvojen löytämisen ongelma voi myös olla käsitellä "pääakseleilla" ja "päämomenteilla", mikä ei vastaa vain analogiaa hitausmomentin kanssa, vaan myös tilastoissa moniulotteisen jakauman (monimuuttujaisen satunnaismuuttujan) toisten momenttien melko tiukkaa terminologiaa. (sekä ydin että terminologia voivat olla hyvin lähellä toisiaan). Samanaikaisesti kaksiulotteisessa tapauksessa inertiatensori ja kovarianssimatriisi oikeilla akseleilla ovat täysin yhtenevät - akselien permutaatioon asti , ja korkeampien ulottuvuuksien tapauksessa emme puhu yhteensopimisesta, vaan ainoastaan läheisesti liittyvistä muodollisesti ja merkitykseltään matriiseista, jotka diagonalisoivat tässä tapauksessa yhdessä ja samassa perustassa (joilla on samat omat akselit).

Katso myös

Hitausmomentti
Steinerin lause
Pyörimistensori

Muistiinpanot

↑ Shakhoval S. N., Melnikov G. I.// RUPOJEN PARAMETRISEN TUNNISTAMINEN PALLOMAISSA LIIKKEISSÄ HITAASSA OMAN KÄÄNTÖSSÄ. Arkistokopio päivätty 19. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa .- Artikkeli. - ITMO:n tieteellinen ja tekninen tiedote. - tammi-helmikuu 2012. - Numero 1 (77). - UDC 681,5 + 531